#Q.1# もし #アルファ、ベータ# 方程式の根は #x ^ 2-2x + 3 = 0# 根がである方程式を得る #alpha ^ 3-3 alpha ^ 2 + 5 alpha -2# そして #beta ^ 3-beta ^ 2 + beta + 5#?
回答
与えられた方程式 #x ^ 2-2x + 3 = 0#
#=> x =（2pmsqrt（2 ^ 2-4 * 1 * 3））/ 2 = 1pmsqrt2i#
みましょう #alpha = 1 + sqrt2i、beta = 1-sqrt2i#
今させましょう
#ガンマ=アルファ^ 3-3アルファ^ 2 + 5アルファ-2#
#=>ガンマ=アルファ^ 3-3アルファ^ 2 + 3アルファ-1 + 2アルファ-1#
#=>ガンマ=（アルファ-1）^ 3 +アルファ-1 +アルファ#
#=>ガンマ=（sqrt2i）^ 3 + sqrt2i + 1 + sqrt2i#
#=>ガンマ= -2sqrt2i + sqrt2i + 1 + sqrt2i = 1#
そしてさせて
#delta = beta ^ 3-beta ^ 2 + beta + 5#
#=> delta = beta ^ 2（beta-1）+ beta + 5#
#=> delta =（1-sqrt2i）^ 2（-sqrt2i）+ 1-sqrt2i + 5#
#=> delta =（ - 1-2sqrt2i）（ - sqrt2i）+ 1-sqrt2i + 5#
#=> delta = sqrt2i-4 + 1-sqrt2i + 5 = 2#
根を持つ二次方程式 #ガンマとデルタ# です
#x ^ 2-（ガンマ+デルタ）x +ガンマデルタ= 0#
#=> x ^ 2-（1 + 2）x + 1 * 2 = 0#
#=> x ^ 2-3x + 2 = 0#
#Q.2# 方程式の1つの根が #ax ^ 2 + bx + c = 0# 他の正方形になる
証明してください #b ^ 3 + a ^ 2c + ac ^ 2 = 3abc#
片方の根を #アルファ# それから他の根はある #アルファ^ 2#
そう #alpha ^ 2 + alpha = -b / a#
そして
#alpha ^ 3 = c / a#
#=>アルファ^ 3-1 = c / a-1#
#=>（alpha-1）（alpha ^ 2 + alpha + 1）= c / a-1 =（c-a）/ a#
#=>（alpha-1）（ - b / a + 1）=（c-a）/ a#
#=>（alpha-1）（（a-b）/ a）=（c-a）/ a#
#=>（alpha-1）=（c-a）/（a-b）#
#=>アルファ=（c-a）/（a-b）+ 1 =（c-b）/（a-b）#
今 #アルファ# 二次方程式の根の一つであること #ax ^ 2 + bx + c = 0# 我々は書ける
#aalpha ^ 2 + balpha + c = 0#
#=> a（（c-b）/（a-b））^ 2 + b（（c-b）/（a-b））+ c = 0#
#=> a（c-b）^ 2 + b（c-b）（a-b）+ c（a-b）^ 2 = 0#
#=> ac ^ 2-2abc + ab ^ 2 + abc-ab ^ 2-b ^ 2c + b ^ 3 + ca ^ 2-2abc + b ^ 2c = 0#
#=> b ^ 3 + a ^ 2c + ac ^ 2 = 3abc#
証明された
代替案
#aalpha ^ 2 + balpha + c = 0#
#=> aalpha + b + c / alpha = 0#
#=> a（c / a）^（1/3）+ b + c /（（c / a）^（1/3））= 0#
#=> c ^（1/3）a ^（2/3）+ c ^（2/3）a ^（1/3）= - b#
#=>（c ^（1/3）a ^（2/3）+ c ^（2/3）a ^（1/3））^ 3 =（ - b）^ 3#
#=>（c ^（1/3）a ^（2/3））^ 3+（c ^（2/3）a ^（1/3））^ 3 + 3c ^（1/3）a ^ （2/3）xxc ^（2/3）a ^（1/3）（c ^（1/3）a ^（2/3）+ c ^（2/3）a ^（1/3）） =（ - b）^ 3#
#=> ca ^ 2 + c ^ 2a + 3ca（-b）=（ - b）^ 3#
#=> b ^ 3 + ca ^ 2 + c ^ 2a = 3abc#
