1000 ^（1000）または1001 ^（999）のどちらが大きいですか？

回答：

#1000^1000 > 1001^999#

説明：

方程式を考える

#1000 ^ 1000 = 1001 ^ x#

もし #x> 999#

それから

#1000^1000 > 1001^999#

それ以外の

#1000^1000 < 1001^999#

対数変換を両側に適用する。

#1000 log 1000 = x log 1001#

しかし

#log 1001 = log1000 + 1 / 1000xx1-1 /（2！）1/1000 ^ 2xx1 ^ 2 + 2 /（3！）1/1000 ^ 3xx1 ^ 3 + cdots + 1 /（n！）（d /（ dx）log x）_（x = 1000）1 ^ n#.

このシリーズは交互で急速に収束するので

#log1001約log1000 + 1/1000#

代入する

#x = 1000 log 1000 /（log 1000 + 1/1000）= 1000（3000/3001）#

しかし #3000/3001 = 0.999667# そう

#x = 999.667> 999# それから

#1000^1000 > 1001^999#

回答：

これを証明するために二項定理を使った別の解法があります。

#1001^999 < 1000^1000#

説明：

二項定理により：

#(1+1/1000)^999 = 1/(0!) + 999/(1!)1/1000 + (999*998)/(2!)1/1000^2 + (999*998*997)/(3!) 1/1000^3 + … + (999!)/(999!) 1/1000^999#

#<1 /（0！）+ 1 /（1！）+ 1 /（2！）+ 1 /（3！）+ … = e ~~ 2.718#

そう：

#1001^999 = (1001/1000 * 1000) ^ 999#

#色（白）（1001 ^ 999）=（1 + 1/1000）^ 999 * 1000 ^ 999#

#色（白）（1001 ^ 999）<e * 1000 ^ 999 <1000 * 1000 ^ 999 = 1000 ^ 1000#

回答：

#1000^1000 > 1001^999#

説明：

#log 1000 = log 10 ^ 3 = 3、log 1001 = 3.0004340 …を使用してください。

ここで、2つの対数は

#log（1000 ^ 1000）= 1000 log1000 =（1000）（3）= 3000# そして

#log 1001 ^ 999 =（999）（3.0004340 …）= 2997.4#…

logは増加する関数なので、

#1000^1000 > 1001^999#.