回答：
#1 / 3ln | x + 1 | -1 / 6ln | x ^ 2-x + 1 | + sqrt3 / 3tan ^ -1（（2x-1）/ sqrt3）+ C#
説明：
分母を因数分解することから始めます。
#1 + x ^ 3 =（x + 1）（x ^ 2-x + 1）#
これで部分分数を実行できます。
#1 /（1 + x ^ 3）= 1 /（（x + 1）（x ^ 2-x + 1））= A /（x + 1）+（Bx + C）/（x ^ 2-x） +1）#
見つけられる #A# 隠蔽法を使用する。
#A = 1 /（（（（////））（（ - 1）^ 2 + 1 + 1））= 1/3#
次に、両側にLHS分母を掛けます。
#1 = 1/3（x ^ 2-x + 1）+（Bx + C）（x + 1）#
#1 = 1 / 3x ^ 2-1 / 3x + 1/3 + Bx ^ 2 + Bx + Cx + C#
#1 =（1/3 + B）x ^ 2 +（B + C-1/3）x +（C + 1/3）#
これにより、次の式が得られます。
#1/3 + B = 0 - > B = -1 / 3#
#C + 1/3 = 1 - > C = 2/3#
これは、元の積分を書き換えることができることを意味します。
#int 1 /（1 + x ^ 3） dx = 1 / 3int 1 /（x + 1） - （x-2）/（x ^ 2-x + 1） dx#
最初の積分は明示的なu-置換を使って行うことができますが、答えが #ln | x + 1 |#:
#1/3（ln | x + 1 | -int （x-2）/（x ^ 2-x + 1） dx）#
残りの積分を2つに分割することができます。
#int （x-2）/（x ^ 2-x + 1） dx = 1 / 2int （2x-4）/（x ^ 2-x + 1） dx =#
#= 1/2（int （2x-1）/（x ^ 2-x + 1） dx-int 3 /（x ^ 2-x + 1） dx）#
乗法と除算のトリックの理由 #2# 左側の分母をu置換を使いやすくするためのものです。
私は左の積分1と右の積分2を呼びます
積分1
#int （2x-1）/（x ^ 2-x + 1） dx#
我々はすでに代用のためにこの積分を準備したので、我々がする必要があるのは代用だけ #u = x ^ 2-x + 1#そして導関数は #2x-1#それで、我々はそれに関して分割して #u#:
#int cancel（2x-1）/（cancel（2x-1）* u） du = int 1 / u du = ln | u | + C = ln | x ^ 2-x + 1 | + C#
積分2
#3int 1 /（x ^ 2-x + 1） dx#
この積分を次の形式にします。
#int 1 /（1 + t ^ 2） dt = tan ^ -1（t）+ C#
これを行うには、分母の正方形を完成させる必要があります。
#x ^ 2-x + 1 =（x-1/2）^ 2 + k#
#x ^ 2-x + 1 = x ^ 2-x + 1/4 + k#
#k = 3/4#
#3int 1 /（x ^ 2-x + 1） dx = 3int 1 /（（x-1/2）^ 2 + 3/4） dx#
以下のようなu置換を導入したいと思います。
#（x-1/2）^ 2 = 3 / 4u ^ 2#
#x-1/2 = sqrt3 / 2u#
#x = sqrt3 / 2u + 1/2#
について導関数を掛けます。 #u# に関して統合する #u#:
#dx /（du）= sqrt（3）/ 2#
#3 * sqrt3 / 2int 1 /（3 / 4u ^ 2 + 3/4） du = 3sqrt3 / 2 * 1 /（3/4）int 1 /（u ^ 2 + 1） du =#
#= 2sqrt3tan ^ -1（u）+ C = 2sqrt3tan ^ -1（（2x-1）/ sqrt3）+ C#
元の積分を完了する
Integral 1とIntegral 2の答えがわかったので、それらを元の式に戻して最終的な答えを得ることができます。
#1/3（ln | x + 1 | -1 / 2ln | x ^ 2-x + 1 | + sqrt3tan ^ -1（（2x-1）/ sqrt3））+ C =#
#= 1 / 3ln | x + 1 | -1 / 6ln | x ^ 2-x + 1 | + sqrt3 / 3tan ^ -1（（2x-1）/ sqrt3）+ C#
回答：
#1 / 3ln（x + 1）-1 / 6ln（x ^ 2-x + 1）+（sqrt3）/ 3 arctan（（2x-1）/ sqrt3）+ C#
説明：
#int dx /（x ^ 3 + 1）#
=#1 / 3int（3dx）/（x ^ 3 + 1）#
=#1 / 3int（3dx）/ （x ^ 2-x + 1）*（x + 1）#
=#1 / 3int（x ^ 2-x + 1）/ （x ^ 2-x + 1）（x + 1） * dx#-#1 / 3int（x ^ 2-x-2）/ （x ^ 2-x + 1）（x + 1） * dx#
=#1 / 3int dx /（x + 1）#-#1 / 3int（（x + 1）（x-2））/ （x ^ 2-x + 1）（x + 1） * dx#
=#1 / 3ln（x + 1）+ C-1/3 int（x-2）/（x ^ 2-x + 1）* dx#
=#1 / 3ln（x + 1）+ C-1/6 int（2x-4）/（x ^ 2-x + 1）* dx#
=#1 / 3ln（x + 1）+ C-1/6 int（2x-1）/（x ^ 2-x + 1）* dx#+#1/6整数3 /（x ^ 2-x + 1）* dx#
=#1 / 3ln（x + 1）-1 / 6ln（x ^ 2-x + 1）+ C#+#1/2 int dx /（x ^ 2-x + 1）#
=#1 / 3ln（x + 1）-1 / 6ln（x ^ 2-x + 1）+ C#+#int（2dx）/（4x ^ 2-4x + 4）#
=#1 / 3ln（x + 1）-1 / 6ln（x ^ 2-x + 1）+ C#+#int（2dx）/（（2x-1）^ 2 + 3）#
=#1 / 3ln（x + 1）-1 / 6ln（x ^ 2-x + 1）+（sqrt3）/ 3 arctan（（2x-1）/ sqrt3）+ C#
