どうやってarcsin x + arccos x = pi / 2を証明できますか？

回答：

示されるように

説明：

みましょう

#arcsinx = theta#

それから

#x = sintheta = cos（pi / 2-θ）#

#=> arccosx = pi / 2-theta = pi / 2-arcsinx#

#=> arccosx = pi / 2-arcsinx#

#=> arcsinx + arccosx = pi / 2#

回答：

逆引き関数が主値を参照している場合には、その記述は真実ですが、それには他の答えよりも慎重に注意を払う必要があります。

逆引き関数が多値と見なされると、より微妙な結果が得られます。例えば、

#x = sin（{3 pi} / 4）= cos（pi / 4）= 1 / sqrt {2} quad# しかし #quad {3pi} / 4 + pi / 4 = pi #

取得するには減算する必要があります #pi / 2#.

説明：

これは見た目よりもトリッキーです。他の答えはそれに適切な敬意を払っていません。

一般的な慣習は、小文字を使うことです #arccos（x）# そして #arcsin（x）# それぞれがコサインまたはサインが与えられた値を持つすべての値を示す多値式として #バツ#.

それらの合計の意味は本当にあらゆる可能な組み合わせであり、それらは常に与えるわけではありません #pi / 2.# 彼らは常にコータミナルアングルの1つさえ与えない # pi / 2 + 2pi k quad# 整数 #k#これから説明します。

最初に、多値の逆引き関数でどのように機能するのかを見てみましょう。一般的に覚えている # cos x = cos a# 解決策があります #x = pm a +2πk quad# 整数 #k#.

#c = arccos x# 本当に意味する

#x = cos c#

#s =アークサインx# 本当に意味する

#x = sin s#

#y = s + c#

#バツ# 掃引する本当のパラメータの役割を果たしている #-1# に #1#。解決したい #y#のすべての可能な値を見つける #y# どれが #x、s# そして #c# それはこれらの連立方程式を作る #x = cos c、x = sin s、y = s + c# 本当です。

#sin s = x = cos c#

#cos（ pi / 2 - s）= cos c#

余弦の等式については、上記の一般的な解を使います。

#pi / 2 - s = pm c + 2pi k quad# 整数 #k#

#s pm c = pi / 2 - 2pi k#

それで、我々ははるかに漠然とした結果を得ます、

#アークサイン×午後アークサインc =π/ 2 +2πk#

（サインを反転することは許可されています #k。#)

ここで私が大文字で書く主な価値に焦点を当てましょう：

見せる #テキスト{Arc}テキスト{sin}（x）+テキスト{Arc}テキスト{cos}（x）= pi / 2#

この記述は、通常の方法で定義された基本値にも当てはまります。

合計は（複素数にかなり深くなるまで）定義されるだけです。 #-1 le x le 1# 有効なサインとコサインがその範囲内にあるためです。

我々は同等のそれぞれの側を見ます

#テキスト{Arc}テキスト{cos}（x）stackrel {？} {=} pi / 2 - テキスト{Arc}テキスト{sin}（x）#

両側の余弦を取ります。

#cos（テキスト{Arc}テキスト{cos}（x））= x#

#cos（pi / 2 - テキスト{Arc}テキスト{sin}（x））= sin（テキスト{Arc}テキスト{sin}（x））= x#

そのため、兆候や主な価値観を気にせずに確認できます。

#cos（テキスト{Arc}テキスト{cos}（x））= cos（pi / 2 - テキスト{Arc}テキスト{sin}（x））#

トリッキーな部分、尊敬に値する部分は、次のステップです。

#テキスト{Arc}テキスト{cos}（x）= pi / 2 - テキスト{Arc}テキスト{sin}（x）quad# まだ分 からない

慎重に踏まなければなりません。ポジティブとネガティブを取りましょう #バツ# 別々に。

最初 #0 le x le 1#。これは、両方の逆トリガ関数の主値が最初の象限にあることを意味します。 #0# そして #pi / 2.# 最初の象限に拘束され、等コサインは等角度を意味するので、次のように結論します。 #x ge 0、#

#テキスト{Arc}テキスト{cos}（x）= pi / 2 - テキスト{Arc}テキスト{sin}（x）quad#

今 #-1 le x <0# 逆符号の主値は4番目の象限にあります。 #x <0# 通常、範囲内の主値を定義します。

# - pi / 2 le text {Arc} text {sin}（x）<0#

# pi / 2 ge - テキスト{Arc}テキスト{sin}（x）> 0#

#pi ge pi / 2 - テキスト{Arc}テキスト{sin}（x）> pi / 2#

#pi / 2 <pi / 2 - テキスト{Arc}テキスト{sin}（x）le pi#

負の逆コサインの主値は2番目の象限です。

# pi / 2 <テキスト{Arc}テキスト{cos}（x）le pi#

そのため、コサインが等しい2番目の象限には2つの角度があり、角度は等しいと結論付けることができます。にとって #x <0#, #テキスト{Arc}テキスト{cos}（x）= pi / 2 - テキスト{Arc}テキスト{sin}（x）quad#

どちらにしても

#text {Arc} text {sin}（x）+ text {Arc} text {cos}（x）= pi / 2 quad sqrt#