次の方程式は、どの間隔で上に凹、下に凹であり、その変曲点は（x、y）f（x）= x ^ 8（ln（x））です。

回答：

• もし #0 <x <e ^（ - 15/56）# それから #f# です 凹面;
• もし #x> e ^（ - 15/56）# それから #f# です 凹面;
• #x = e ^（ - 15/56）# です （落下）変曲点

説明：

二重微分可能関数の凹面と変曲点を解析するには #f#二次微分の陽性度を調べることができます。実際には、 #x_0# のドメイン内のポイントです #f#そして：

• もし #f ''（x_0）> 0#それから #f# です 凹面 の近所に #x_0#;
• もし #f ''（x_0）<0#それから #f# です 凹面 の近所に #x_0#;
• もし #f ''（x_0）= 0# そしてのサイン #f ''# の十分に小さい右辺 #x_0# の符号と反対です #f ''# の十分に小さい左辺上 #x_0#それから #x = x_0# と呼ばれる 変曲点 の #f#.

の特定の場合 #f（x）= x ^ 8 ln（x）#、そのドメインが正の実数に限定されなければならない関数があります #RR ^ +#.

一次導関数は

#f '（x）= 8 x ^ 7 ln（x）+ x ^ 8 1 / x = x ^ 7 8 ln（x）+1#

二次導関数は

#f ''（x）= 7x ^ 6 8 ln（x）+1 + x ^ 7 8 / x = x ^ 6 56 ln（x）+15#

の積極性を研究しましょう #f ''（x）#:

• #x ^ 6> 0 xf 0が0の場合
• #56ln（x）+15> 0 iff ln（x）> - 15/56 iff x> e ^（ - 15/56）#

そのため、ドメインは #RR ^ +#、それがわかります

• もし #0 <x <e ^（ - 15/56）# それから #f ''（x）<0# そして #f# です 凹面;
• もし #x> e ^（ - 15/56）# それから #f ''（x）> 0# そして #f# です 凹面;
• もし #x = e ^（ - 15/56）# それから #f ''（x）= 0#。この点の左側にあることを考慮して #f ''# 否定的であり、右側でそれは肯定的であると、我々は結論を下す #x = e ^（ - 15/56）# です （落下）変曲点