次の方程式を自然数で解きます。x 2 + y 2 = 1997（x-y）？

回答：

#（x、y）=（170、145）# または #（x、y）=（1817、145）#

説明：

次の証明は、Titu Andreescu著、Dorin Andrica著、Ion Cucurezeanu著の著書「ディオファントス方程式の序論：問題に基づくアプローチ」の中のものに基づいています。

与えられた：

#x ^ 2 + y ^ 2 = 1997（x-y）#

みましょう #a =（x + y）# そして #b =（1997-x + y）#

その後：

#a ^ 2 + b ^ 2 =（x + y）^ 2 +（1997-x + y）^ 2#

#= x ^ 2 + 2xy + y ^ 2 + 1997 ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2-2（1997（x-y）+ xy）#

#= x ^ 2 + 2xy + y ^ 2 + 1997 ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2-2（x ^ 2 + y ^ 2 + xy）#

#=1997^2#

したがって、我々は見つけます：

#{（0 <a = x + y <1997）、（0 <b = 1997-x + y <1997）：}#

以来 #1997# 素数です、 #a# そして #b# より大きい共通因子がない #1#.

したがって正の整数が存在する #m、n# と #m> n# そしてそれ以上の共通因子はない #1# そのような：

#{（1997 = m ^ 2 + n ^ 2）、（a = 2mn）、（b = m ^ 2-n ^ 2）：}色（白）（XX） "または"色（白）（XX） {（1997 = m ^ 2 + n ^ 2）、（a = m ^ 2-n ^ 2）、（b = 2mn）：}#

見つめている #1997 = m ^ 2 + n ^ 2# modで #3# そしてmod #5# 算術演算、

#2 - = 1997 = m ^ 2 + n ^ 2# （mod #3#）したがって #m - = + -1# そして #n - = + -1# （mod #3#)

#2 - = 1997 = m ^ 2 + n ^ 2# （mod #5#）したがって #m - = + -1# そして #n - = + -1# （mod #5#)

それはの唯一の可能性が #m、n# モジュロ #15# あります #1, 4, 11, 14#.

さらに注意してください。

#m ^ 2 in（1997/2、1997）#

それゆえ：

#m in（sqrt（1997/2）、sqrt（1997））~~（31.6、44.7）#

だから唯一の可能性は #m# あります #34, 41, 44#

我々は気づく：

#1997 - 34^2 = 841 = 29^2#

#1997 - 41^2 = 316# 完璧な広場ではありません。

#1997 - 44^2 = 61# 完璧な広場ではありません。

そう #（m、n）=（34、29）#

そう：

#（a、b）=（2分、m ^ 2 - n ^ 2）=（1972、315）#

または

#（a、b）=（m ^ 2-n ^ 2、2分）=（315、1972）#

#色（白）（）#

もし #（a、b）=（1972、315）# その後：

#{（x + y = 1972）、（1997-x + y = 315）：}#

それゆえ：

#（x、y）=（1817、145）#

#色（白）（）#

もし #（a、b）=（315、1972）# その後：

#{（x + y = 315）、（1997-x + y = 1972）：}#

それゆえ：

#（x、y）=（170、145）#