第一原理x ^ 2sin（x）と区別しますか？

回答：

#（df）/ dx = 2xsin（x）+ x ^ 2cos（x）# 導関数の定義といくつかの制限から

説明：

みましょう #f（x）= x ^ 2 sin（x）#。それから

#（df）/ dx = lim_ {h to 0}（f（x + h） - f（x））/ h#

#= lim_ {h to 0}（（x + h）^ 2シン（x + h） - x ^ 2シン（x））/ h#

#= lim_ {h to 0}（（x ^ 2 + 2hx + h ^ 2）（sin（x）cos（h）+ sin（h）cos（x）） - x ^ 2sin（x））/ h #

#=#

#lim_ {h to 0}（x ^ 2sin（x）cos（h） - x ^ 2sin（x））/ h +#

#lim_ {h to 0}（x ^ 2sin（h）cos（x））/ h +#

#lim_ {h to 0}（2hx（sin（x）cos（h）+ sin（h）cos（x）））/ h +#

#lim_ {h to 0}（h ^ 2（sin（x）cos（h）+ sin（h）cos（x）））/ h#

三角恒等式といくつかの単純化による。最後の4行には 4学期.

第一期 なぜなら、0に等しいからです。

#lim_ {h to 0}（x ^ 2sin（x）cos（h） - x ^ 2sin（x））/ h#

#= x ^ 2sin（x）（lim_ {h to 0}（cos（h） - 1）/ h）#

#= 0#, これは見られることができるテイラー展開またはL'Hospitalの規則から。

の 第4期 また消えます

#lim_ {h to 0}（h ^ 2（sin（x）cos（h）+ sin（h）cos（x）））/ h#

#= lim_ {h to 0} h（sin（x）cos（h）+ sin（h）cos（x））#

#= 0#.

今 2期目 に簡素化

#lim_ {h to 0}（x ^ 2sin（h）cos（x））/ h#

#= x ^ 2cos（x）（lim_ {h to 0}（sin（h））/ h）#

#= x ^ 2cos（x）#, 以来

#lim_ {h to 0}（sin（h））/ h = 1#ここに示すように、または病院の法則（下記参照）。

の 第三期 に簡素化

#lim_ {h to 0}（2hx（sin（x）cos（h）+ sin（h）cos（x）））/ h#

#= lim_ {h to 0} 2×sin（x）cos（h）+ 2×sin（h）cos（x）#

#= 2xsin（x）#,

どちらの後 第2項に追加する それを与える

#（df）/ dx = 2xsin（x）+ x ^ 2cos（x）#.

注：L'Hospitalの規則により、 # lim_ {h to 0} sin（h）= 0# そして # lim_ {h to 0} h = 0# そして両方の関数は周りで微分可能です #h = 0#、それがあります

# lim_ {h to 0} sin（h）/ h = lim_ {h to 0}（（d /（dh））sin（h））/（d /（dh）h）= lim_ { h to 0} cos（h）= 1#.

限界 #lim_ {h to 0}（cos（h） - 1）/ h = 0# 同様に表示することができます。