Int_1 ^ e 1 /（x sqrt（ln ^ 2x））dxをどのように統合しますか？

回答：

この積分は存在しません。

説明：

以来 #ln x> 0# その間に #1、e#、 我々は持っています

#sqrt {ln ^ 2 x} = | ln x | = ln x#

ここで、積分が

#int_1 ^ e dx / {x ln x}#

代替 #ln x = u#それから #dx / x = du# そのため

#int_1 ^ e dx / {x ln x} = int_ {ln 1} ^ {ln e} {du} / u = int_0 ^ 1 {du} / u#

被積分関数は下限で発散するため、これは不適切な積分です。これは

#lim_ {l - > 0 ^ +} int_l ^ 1 {du} / u#

これが存在する場合今

#int_l ^ 1 {du} / u = ln 1 - ln l = -ln l#

これは限界で分岐するので #l - > 0 ^ +#、積分は存在しません。

回答：

#pi / 2#

説明：

積分 #int_1 ^ e（ "d" x）/（xsqrt（1-ln ^ 2（x））#.

最初に代用 #u = ln（x）# そして # "d" u =（ "d" x）/ x#.

したがって、私たちは

#int_（x = 1）^（x = e）（ "d" u）/ sqrt（1-u ^ 2）#

今、代用 #u = sin（v）# そして # "d" u = cos（v） "d" v#.

その後、

#int_（x = 1）^（x = e）（cos（v））/（sqrt（1-sin ^ 2（v））） "d" v = int_（x = 1）^（x = e ） "d" v# 以来 #1-sin ^ 2（v）= cos ^ 2（v）#.

続けて、私たちは持っています

#v _（x = 1）^（x = e）= arcsin（u） _（x = 1）^（x = e）= arcsin（ln（x）） _（x = 1 ）^（x = e）=アークサイン（ln（e）） - アークサイン（ln（1））=π/ 2-0 =π/ 2#