三角形Aの面積は9で、2辺の長さは6と9です。三角形Bは三角形Aと似ており、一辺の長さは12です。三角形Bの最大面積と最小面積はいくつですか？

回答：

分 #= frac {144（13 -8 sqrt {2}）} {41} 約5.922584784 …#

マックス #= frac {144（13 + 8 sqrt {2}）} {41} 約85.39448839 …#

説明：

与えられた：

#面積_ { triangleA} = 9#

横の長さ # triangleA# あります #X、Y、Z#

#X = 6、Y = 9#

横の長さ # triangleB# あります #U、V、W#

#U = 12#

# triangle A text {類似} triangle B#

最初に解く #Z#:

ヘロンの式を使う： #A = sqrt {S（S-A）（S-B）（S-C）# どこで #S = frac {A + B + C} {2}# 、エリア９内のサブ、およびサイド長６および９。

#S = frac {15 + z} {2}#

#9 = sqrt {（ frac {15 + Z} {2}）（ frac {Z + 3} {2}）（ frac {Z - 3} {2}）（ frac {15 - z} { 2}）#

#81 = frac {（225-Z ^ 2）（Z ^ 2 - 9）} {16}#

#1296 = -Z ^ 4 + 234Z ^ 2-2025#

#-Z ^ 4 + 234Z ^ 2-3321 = 0#

みましょう #u = Z ^ 2#, #-u ^ 2 + 234u-3321 = 0#

二次公式を使う

#u = frac {-b pm sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a}#

#u = 9（13-8 sqrt {2}）、u = 9（8 sqrt {2} +13）#

#Z = sqrt {u}# 次のように否定的な解決策を拒否 #Z> 0#

#Z = 3 sqrt {13-8 sqrt {2}}、Z = 3 sqrt {8 sqrt {2} +13}#

したがって #Z 約3.895718613# そして # 14.79267983 # それぞれ

# A text {似たような} B、面積_ { triangle B} = k ^ 2 *面積_ { triangleA}# どこで #k# サイズ変更要素です。

#k = 12 / s# 昇順に並べられている場合： #s in {3 sqrt {13-8 sqrt {2}}、6、9,3 sqrt {8 sqrt {2} +13}}#

または10進数形式で： #s in {3.895718613、6、9、14.79267983}#

の値が大きいほど #s# 面積が小さいほど、の値は小さくなります。 #s# 面積が大きいほど

したがって、Areaを最小にするには #s = 3 sqrt {13-8 sqrt {2}}#

そして面積を最大化するために #s = 3 sqrt {8 sqrt {2} +13}#

したがって、最小面積 #= 9 * frac {12} {3 sqrt {8 sqrt {2} +13}} ^ 2#

#= frac {144（13 -8 sqrt {2}）} {41} 約5.922584784 …#

そして最大面積 #= 9 * frac {12} {3 sqrt {13-8 sqrt {2}}} ^ 2#

#= frac {144（13 + 8 sqrt {2}）} {41} 約85.39448839 …#