KとLが2つの異なる部分空間実ベクトル空間Vであるとします。dim（K）= dim（L）= 4が与えられた場合、Vに対して最小次元を決定する方法は可能ですか？

回答：

説明：

4つのベクトルを #k_1、k_2、k_3# そして #k_4# ベクトル空間の基礎を形成する #K#。以来 #K# の部分空間 #V#、これら4つのベクトルは線形独立な集合を形成します。 #V#。以来 #L# の部分空間 #V# と違う #K#少なくとも1つの要素がなければならない、と言う #l_1# に #L#にはありません #K#すなわち、の線形結合ではありません #k_1、k_2、k_3# そして #k_4#.

だから、セット #{k_1、k_2、k_3、k_4、l_1}# 線形独立なベクトルの集合 #V#。したがって、の次元数 #V# 少なくとも5です！

実際、それはのスパンのために可能です #{k_1、k_2、k_3、k_4、l_1}# ベクトル空間全体になる #V# - 基底ベクトルの最小数が5でなければならないように。

一例として、 #V# ある #RR ^ 5# させて #K# そして #V# 形式のベクトルからなる

#（α、β、γ、δ、（０））# そして #（μ、ν、λ、（0）、φ）#

ベクトルは次のようになります。

#((1),(0),(0),(0),(0))#,#((0),(1),(0),(0),(0))#,#((0),(0),(1),(0),(0))#そして #((0),(0),(0),(0),(0))#

の基礎を形成する #K#。ベクトルを追加 #((0),(0),(0),(0),(0))#そして、あなたは全体のベクトル空間の基礎を得るでしょう、

S1とS2が非ゼロの部分空間で、S1がS2の内側に含まれていると仮定し、dim（S2）= 3？と仮定します。

1. {1、2} 2. {1、2、3}ここでの秘訣は、ベクトル空間Vの部分空間Uが与えられると、dim（U）<= dim（V）となることです。これを理解するための簡単な方法は、Uの基底はV内で線形的に独立しているので、Vの基底であるか（V = Vの場合）、Vの基数より少ない要素を持つ必要があることです。この問題のS_1subeS_2は、上記のとおり、dim（S_1）<= dim（S_2）= 3であることを意味します。さらに、S_1はゼロ以外、dim（S_1）> 0であることがわかります。 S_2、不等式dim（S_1）<dim（S_2）が厳密であることがわかります。したがって、0 <dim（S_1）<3で、{1,2}のdim（S_1）を意味します。 2.この部分で変更された唯一のことは、今やS_1 = S_2の選択肢があるということです。これは不等式を0 <dim（S_1）<= 3に変更します。これはS_1in {1,2,3}を意味します