長さ12のコードは、円周上でpi / 12からpi / 6ラジアンまで走ります。円の面積は？

回答：

円の面積は

#S =（36π）/ sin ^ 2（π/ 24）=（72π）/（1-sqrt（（2 + sqrt（3））/ 4））#

説明：

上の図は、問題に設定されている条件を反映しています。すべての角度（わかりやすくするために拡大）は、水平X軸から数えたラジアンです。 #OX# 反時計回りに

#AB = 12#

#/ _ XOA = pi / 12#

#/ _ XOB = pi / 6#

#OA = OB = r#

その面積を決定するために円の半径を見つけなければなりません。

私たちはその和音を知っています #AB# 長さあり #12# と半径の間の角度 #OA# そして #OB# （ここで #O# 円の中心です）

#alpha = / _ AOB = pi / 6 - pi / 12 = pi / 12#

高度を構築する #ああ# 三角形の #デルタAOB# 頂点から #O# 横に #AB#。以来 #デルタAOB# 二等辺三角形です、 #ああ# 中央値と角度二等分線です。

#AH = HB =（AB）/ 2 = 6#

#/ _ AOH = / _ BOH =（/ _ AOB）/ 2 = pi / 24#

直角三角形を考えます #デルタAOH#.

私達はそのカテラスを知っている #AH = 6# と角度 #/ _ AOH = pi / 24#.

したがって、斜辺 #OA#これは私たちの円の半径です #r#に等しい

#r = OA =（AH）/ sin（/ _ AOH）= 6 / sin（pi / 24）#

半径を知っていると、領域を見つけることができます。

#S = pi * r ^ 2 =（36pi）/ sin ^ 2（pi / 24）#

三角関数なしでこれを表現しましょう。

以来

#sin ^ 2（φ）=（1-cos（2φ））/ 2#

以下のように面積を表すことができます。

#S =（72π）/（1-cos（π/ 12））#

もう一つの三角恒等式：

#cos ^2φ=（1 + cos（2φ））/ 2#

#cosφ= sqrt （1 + cos（2φ））/ 2#

したがって、

#cos（pi / 12）= sqrt （1 + cos（pi / 6））/ 2 =#

#= sqrt （1 + sqrt（3）/ 2）/ 2 = sqrt（（2 + sqrt（3））/ 4）#

これで円の面積を次のように表すことができます。

#S =（72π）/（1-sqrt（（2 + sqrt（3））/ 4））#

回答：

別の取り組み同じ結果

説明：

上の図の長さ12の和音ABは、#pi / 12# に #pi / 6# 半径の円の中 r そして原点として取られる中心O。

#/ _ AOX = pi / 12# そして #/ _ BOX = pi / 6#

Aの極座標 #=（r、pi / 12）# そしてBのそれ #=（r、pi / 6）#

極座標に対する距離公式の適用

弦の長さAB#12 = sqrt（r ^ 2 + r ^ 2-2 * r ^ 2 * cos（/ _ BOX - / _ AOX）#

#=> 12 ^ 2 = r ^ 2 + r ^ 2-2 * r ^ 2 * cos（pi / 6-pi / 12）#

#=> 144 = 2r ^ 2（1-cos（pi / 12））#

#=> r ^ 2 = 144 /（2（1-cos（pi / 12））#

#=> r ^ 2 = cancel144 ^ 72 /（cancel2（1-cos（pi / 12））#

#=> r ^ 2 = 72 /（1-cos（pi / 12））#

#=> r ^ 2 = 72 /（1-sqrt（1/2（1 + cos（2 * pi / 12））#）

#=> r ^ 2 = 72 /（1-sqrt（1/2（1 + cos（pi / 6））#

#=> r ^ 2 = 72 /（1-sqrt（1/2（1 + sqrt3 / 2）#

だから円の面積

#= pi * r ^ 2#

#=（72π）/（1-sqrt（1/2（1 + sqrt3 / 2）#）#

#=（72π）/（1-sqrt（（2 + sqrt3）/ 4）#