曲線y = x ^ 2 - 1とy = 0で囲まれた領域の体積を、x = 5の線を中心に回転させてどうやって見つけますか？

回答：

#V = piint_0 ^ 24（5-sqrt（y + 1））^ 2dy = pi（85 + 1/3）#

説明：

この体積を計算するために、ある意味でそれを（無限に細い）スライスに切ります。

私達はこれを手助けするために領域を想像します、私は領域が曲線の下の部分であるグラフを囲みました。私達はそれに注意します #y = x ^ 2-1# 線を横切る #x = 5# どこで #y = 24# そしてそれが線を横切ること #y = 0# どこで #x = 1# グラフ{x ^ 2-1 1、5、-1、24}

この領域を高さのある水平スライスにカットするとき #dy# （非常に小さい高さ）。これらのスライスの長さはy座標に大きく依存します。この長さを計算するために私達はポイントからの距離を知る必要があります #（y、x）# オンラインで #y = x ^ 2-1# （5、y）までもちろんこれは #5-x#しかし、それがどのように依存するのか知りたいのですが #y#。以来 #y = x ^ 2-1#、知っている #x ^ 2 = y + 1#、私達が持っているので #x> 0# 私達が興味を持っている地域のために、 #x = sqrt（y + 1）#したがって、この距離は #y#これを我々は #r（y）# によって与えられます #r（y）= 5-sqrt（y + 1）#.

この領域を回転させます #x = 5#これは、すべてのスライスが高さのある円柱になることを意味します。 #dy# と半径 #r（y）#したがって、ボリューム #pir（y）^ 2dy#。私たちが今やらなければならないことは、統合を使用してこれらの無限に小さいボリュームを合計することです。私達はそれに注意します #y# から行く #0# に #24#.

#V = int_0 ^ 24pir（y）^ 2dy = piint_0 ^ 24（5-sqrt（y + 1））^ 2dy = piint_0 ^ 24（25-10sqrt（y-1）+ y + 1）dy = piint_0 ^ 24 （26-10sqrt（y + 1）+ y）dy = pi 26y-20/3（y + 1）^（3/2）+ y ^ 2/2 _0 ^ 24 = pi（26 * 24-20） / 3（25）^（3/2）+ 20/3 + 24 ^ 2/2）=π（85 + 1/3）#.