曲線y = 3 + 2x-x ^ 2と線y = 3で囲まれる領域は、線y = 3を中心に完全に回転します。得られた回転体の体積を求めますか？
V = 16 / 15pi ~~ 3.35103面積はこのシステムの解です：{（y <= - x ^ 2 + 2x + 3）、（y> = 3）：}そしてこのプロットでは次のように描かれています。 x軸回転ソリッドの体積は、V = pi * int_a ^ bf ^ 2（z）dzです。この公式を適用するためには、x軸上で半月を平行移動する必要があります。面積は変わりません。したがって、音量も変わりません。y = -x ^ 2 + 2x + 3color（red）（ - 3 ）= - x ^ 2 + 2x y = 3色（赤）（ - 3）= 0このようにして、f（z）= - z ^ 2 + 2zが得られます。平行移動面積はここにプロットされています。しかし積分のaとbはどちらですか？システムの解：{（y = -x ^ 2 + 2x）、（y = 0）：}だからa = 0とb = 2。積分を書き換えて解きましょう。V = pi * int_0 ^ 2（-z ^ 2 + 2z）^ 2 dz V = pi * int_0 ^ 2 z ^ 4-4z ^ 3 + 4z ^ 2 dz V = pi * [z ^ 5 / 5-（4z ^ 4）/ 4 +（4z ^ 3）/ 3] _0 ^ 2 V = pi * [z ^ 5/5-z ^ 4 +（4z ^ 3）/ 3] _0 ^ 2 V = pi *（2 ^ 5 / 5-2 ^ 4 +（4 * 2 ^ 3
曲線y = - （x-1）^ 2 + 5、y = x ^ 2で囲まれた領域とy軸は、x = 4の線を中心に回転してソリッドを形成します。固体の体積は？
以下の答えを見てください。
曲線y = x ^ 2 - 1とy = 0で囲まれた領域の体積を、x = 5の線を中心に回転させてどうやって見つけますか？
V = piint_0 ^ 24（5-sqrt（y + 1））^ 2dy = pi（85 + 1/3）このボリュームを計算するためには、ある意味で（無限に細い）スライスに切ります。私達はこれを手助けするために領域を想像します、私は領域が曲線の下の部分であるグラフを囲みました。 y = x ^ 2-1がx = 5の直線y = 24と交差し、y = 0の直線x = 1と交差することに注意してください。{x ^ 2-1 [1、5、-1、24]この領域を高さdy（非常に小さい高さ）で水平方向にスライスするとき。これらのスライスの長さはy座標に大きく依存します。この長さを計算するには、直線y = x ^ 2-1上の点（y、x）から点（5、y）までの距離を知る必要があります。もちろんこれは5-xですが、それがyにどのように依存するかを知りたいのです。 y = x ^ 2-1なので、x ^ 2 = y + 1がわかります。これは、x = sqrt（y + 1）で対象となる領域でx> 0なので、この距離はyに依存します。 ｒ（ｙ）は、ｒ（ｙ） ５ ｓｑｒｔ（ｙ １）によって与えられるものとする。この領域をx = 5の周りに回転させます。これは、すべてのスライスが高さdy、半径r（y）の円柱になるため、体積pir（y）^ 2dyになることを意味します。私たちが今やらなければならないことは、統合を使用してこれらの無限に小さいボリュームを合計することで