曲線y = 3 + 2x-x ^ 2と線y = 3で囲まれる領域は、線y = 3を中心に完全に回転します。得られた回転体の体積を求めますか？

回答：

#V = 16 / 15pi ~~ 3.35103#

面積はこのシステムの解決策です：

#{（y <= - x ^ 2 + 2x + 3）、（y> = 3）：}#

そして、それはこのプロットでスケッチされています：

X軸回転ソリッドの体積の公式は次のとおりです。

#V = pi * int_a ^ b f ^ 2（z）dz#.

式を適用するために、我々はx軸上の半月を翻訳するべきである、面積は変わらないであろう、そしてそれはボリュームも変えないであろう：

#y = -x ^ 2 + 2x + 3色（赤）（ - 3）= - x ^ 2 + 2x#

#y = 3色（赤）（ - 3）= 0#

このようにして得ます #f（z）= - z ^ 2 + 2z#.

翻訳された面積はここにプロットされます。

しかし、積分のaとbはどれですか？システムの解決策：

#{（y = -x ^ 2 + 2x）、（y = 0）：}#

そう #a = 0、b = 2#.

積分を書き直して解きましょう。

#V = pi * int_0 ^ 2（-z ^ 2 + 2z）^ 2 dz#

#V = pi * int_0 ^ 2 z ^ 4-4z ^ 3 + 4z ^ 2 dz#

#V = pi * z ^ 5 / 5-（4z ^ 4）/ 4 +（4z ^ 3）/ 3 _0 ^ 2#

#V = pi * z ^ 5/5-z ^ 4 +（4z ^ 3）/ 3 _0 ^ 2#

#V = pi *（2 ^ 5 / 5-2 ^ 4 +（4 * 2 ^ 3）/ 3-0 ^ 5/5 + 0 ^ 4-（4 * 0 ^ 3）/ 3）#

#V = pi *（32 / 5-16 + 32/3 + 0）#

#V = pi *（96 / 15-240 / 15 + 160/15）#

#V = 16 / 15pi ~~ 3.35103#

そして、この「レモン」は得られた固体です：