回答：
#= - - 2csc2xcot2x#
説明：
みましょう
#f（x）= csc2x#
#f（x + Deltax）= csc2（x + Deltax）#
#f（x + Deltax） - f（x）= csc2（x + Deltax） - csc2x#
今、
#ｌｉｍ（（ｆ（ｘ Δｘ） ｆ（ｘ））／（（ｘ Δｘ Δｘ）） （ｃｓｃ ２（ｘ Δｘ） ｃｓｃ ２ｘ）／（Δｘ）#
# １ ／Δ×（（ｃｓｃ２（ｘ Δｘ） ｃｓｃ２ｘ）／（Δｘ））#
#= 1 /（Deltax）（1 / sin（2（x + Deltax）） - 1 / sin（2x））#
# １ ／（Δｘ）（（ｓｉｎ２ｘ ｓｉｎ２（ｘ Δｘ））／（ｓｉｎ（２（ｘ Δｘ））ｓｉｎ２ｘ））#
#SinC-sinD = 2cos（（C + D）/ 2）sin（（C-D）/ 2）#
意味する
#C = 2x、D = 2（x + Deltax）#
#（C + D）/ 2 =（2x + 2（x + Deltax））/ 2#
#=（2x + 2x + 2eltax）/ 2#
#=（4x + 2eltax）/ 2#
#= 2（2x + Deltax）/ 2#
#（C + D）/ 2 = 2x + Deltax#
#（C-D）/ 2 =（2x-2（x + Deltax））/ 2#
#=（2x-2x-2eltax）/ 2#
#=（ - - 2eltax）/ 2#
#（C-D）/ 2 = - デルタ#
#sin2x-sin2（x + Deltax）= 2cos（2x + Deltax）sin（-Deltax）#
#ｌｉｍ（Δｘｔ ０）（（ｆ（ｘ Δｘ） ｆ（ｘ））／（（ｘ Δｘ Δｘ）） １ ／（Δｘ）（２ｃｏｓ（２ｘ Δｘ）ｓｉｎ（ Δｘ））／ （sin（2（x + Deltax））sin2x）#
#=（2）（ - sin（Deltax）/（Deltax））（1 / sin（2x））（（cos（2x + Deltax））/（sin（2（x + Deltax））））#
#（ - 2）/ sinxlim（Deltaxto0）（sin（Deltax）/（Deltax））lim（Deltaxto0）（（cos（2x + Deltax））/（sin（2（x + Deltax）））#
#lim（Deltaxto0）（sin（Deltax）/（Deltax））= 1#
今、
#= - 2cscx（1）（cos2x）/ sin（2x）#
#= - - 2csc2xcot2x#
