（多項式計算機を使わずに）3次方程式と4次方程式を解くための最速で最も簡単な方法は何ですか？

回答：

場合によります…

3次または4次（またはそのことに関する任意の次数の多項式）に有理根がある場合、有理根の定理がそれらを見つける最も早い方法です。

デカルトの符号の法則は、多項式が正の根を持つのか負の根を持つのかを識別するのにも役立つので、検索範囲を絞り込むのに役立ちます。

3次方程式の場合、判別式を評価すると役立ちます。

#Delta = b ^ 2c ^ 2-4ac ^ 3-4b ^ 3d-27a ^ 2d ^ 2 + 18abcd#

もし #Delta = 0# その場合、3次はその導関数と因数を共有するので、多項式GCFを計算することによってそれらの共通の因数を見つけることができるはずです。

それ以外の場合は、Tschirnhaus変換を使用して落ち込んだ立方体先に進む前に2乗項はありません。

立方体に1つの実根と2つの非実数の根がある場合は、Cardanoの方法をお勧めします。

それが3つの本当の根を持っているならば、私は代わりに三角法の代用を使うことを勧めます。

四次式の場合は、次のように代入することにより、3乗項のない落ち込んだ四次形を得ることができます。 #t = x + b /（4a）#.

結果として得られる4次式にも線形項がない場合は、次の2次式になります。 #x ^ 2#。これを二次方程式として解いて平方根をとるか、または次の形式の因数分解を使うことができます。

#（x ^ 2-ax + b）（x ^ 2 + ax + b）= x ^ 4 +（2b-a ^ 2）x ^ 2 + b ^ 2#

これから、あなたは解くべき二次因子を見つけることができます。

結果の4次式に線形項がある場合は、次の形式で因数分解できます。

#（x ^ 2-ax + b）（x ^ 2 + ax + c）= x ^ 4 +（b + c-a ^ 2）x ^ 2 + a（b-c）x + bc#

係数を等化して使用する #（b + c）^ 2 =（b-c）^ 2 + 4bc#で立方体を導出することができます #a ^ 2#。それ故にあなたは可能な値を見つけることができます #a#, #b# そして #c#。次に二次因子の零点を求めます。

他の特別な場合がありますが、それは大体それをカバーします。