回答：
#int（3dx）/（x ^ 2 + x + 1）= 2sqrt3arctan（（2x + 1）/ sqrt3）+ C#
説明：
#int（3dx）/（x ^ 2 + x + 1）#
=#int（12dx）/（4x ^ 2 + 4x + 4）#
=#6int（2dx）/ （2x + 1）^ 2 + 3#
=#2sqrt3arctan（（2x + 1）/ sqrt3）+ C#
回答：
#int 3 /（x ^ 2 + x + 1） dx = 2sqrt3tan ^ -1（（2x + 1）/ sqrt3）+ C#
説明：
分母に二次、二次があるときはいつでも #バツ#は分子内にあり、積分を次の形式にします。
#int 1 /（1 + t ^ 2） dt = tan ^ -1（t）+ C#
私たちの場合は、正方形を完成させて代入を使うことでこれを実現できます。
#x ^ 2 + x + 1 =（x + 1/2）^ 2 + k#
#x ^ 2 + x + 1 = x ^ 2 + x + 1/4 + k#
#k = 3/4#
#x ^ 2 + x + 1 =（x + 1/2）^ 2 + 3/4#
#3int 1 /（x ^ 2 + x + 1） dx = 3int 1 /（（x + 1/2）^ 2 + 3/4） dx#
以下のようなu置換を導入したいと思います。
#（x + 1/2）^ 2 = 3 / 4u ^ 2#
我々は解決することができます #バツ# この置換がどうあるべきかを理解するために：
#x + 1/2 = sqrt3 / 2u#
#x = sqrt3 / 2u-1/2#
に関して統合する #u#の導関数を乗じる #バツ# に関して #u#:
#dx /（du）= sqrt3 / 2#
#3int 1 /（（（x + 1/2）^ 2 + 3/4） dx = 3 * sqrt3 / 2int 1 /（3 / 4u ^ 2 + 3/4） du =#
#= 3 * sqrt3 / 2int 1 /（3/4（u ^ 2 + 1）） du = 3 * sqrt3 / 2 * 4 / 3int 1 /（u ^ 2 + 1） du =#
#= 2sqrt3tan ^ -1（u）+ C#
我々は今解決することができます #u# の面では #バツ# 再代入する：
#u =（2x + 1）/ sqrt3#
これは私たちの最終的な答えがあることを意味します。
#2sqrt3tan ^ -1（（2x + 1）/ sqrt3）+ C#
