Tin [1、ln2]上のr（t）=（te ^（t ^ 2）、t ^ 2e ^ t、1 / t）の弧長はいくつですか。

回答：

アーク長 #~~ 2.42533 # （5dp）

下限は弧の長さが負の値です #1# の上限より大きい #ln2#

説明：

次式で与えられるパラメトリックベクトル関数があります。

#bb ul r（t）= << te ^（t ^ 2）、t ^ 2e ^ t、1 / t >>#

円弧長を計算するには、ベクトル微分が必要になります。これは、積規則を使用して計算できます。

#bb ul r '（t）= <<（t）（2te ^（t ^ 2））+（1）（e ^（t ^ 2））、（t ^ 2）（e ^ t）+（2t ）（e ^ t）、-1 / t ^ 2 >>#

# = = << 2t ^ 2e ^（t ^ 2）+ e ^（t ^ 2）、t ^ 2e ^ t + 2te ^ t、-1 / t ^ 2 >>#

次に、導関数ベクトルの大きさを計算します。

#| bb ul r '（t） = sqrt（（2t ^ 2e ^（t ^ 2）+ e ^（t ^ 2））^ 2 +（t ^ 2e ^ t + 2te ^ t）^ 2 +（-1 / t ^ 2）^ 2））#

# "" = sqrt（e ^（2 t）t ^ 4 + 1 / t ^ 4 + 4 e ^（2 t）t ^ 3 + 4 e ^（2 t）t ^ 2 + 4 e ^（2 t ^ 2）t ^ 2 + e ^（2 t ^ 2）+ 4 e ^（2 t ^ 2）t ^ 4）#

それから、次の式を使って円弧長を計算できます。

#L = int_（1）^（ln2） | bb ul r '（t） dt#

# = int_（1）^（ln2） sqrt（e ^（2 t）t ^ 4 + 1 / t ^ 4 + 4 e ^（2 t）t ^ 3 + 4 e ^（2 t）t ^ 2 + 4 e ^（2 t ^ 2）t ^ 2 + e ^（2 t ^ 2）+ 4 e ^（2 t ^ 2）t ^ 4） dt#

分析手法を使用してこの積分を計算することはできそうにないので、代わりに数値法を使用して近似を取得します。

#L ~~ 2.42533 # （5dp）

下限は弧の長さが負の値です #1# の上限より大きい #ln2#

[0、（π）/ 4]におけるx上のf（x）= - xsinx + xcos（x-pi / 2）の弧長はいくつですか。

Pi / 4 [ab]におけるf（x）、xの円弧長は次式で与えられる。S_x = int_b ^ af（x）sqrt（1 + f '（x）^ 2）dx f（x）= - xsinx + xcos（x-pi / 2）= - xsinx + xsinx = 0 f '（x）= 0ちょうどy = 0なので、0からpi / 4までのsの直線の長さはpi / 4です。 0 =π/ 4

錫[1,2]上のr（t）=（t、t、t）の弧長は？

Sqrt（3）ベクトル関数の円弧長を求めます。[1,2]のtに対するbb（ul r（t））= << t、t、t >>これは次の式で簡単に評価できます。L = int_alpha ^ beta || bb（ul（r '）（t））|| dtしたがって、導関数bb（ul（r '）（t））を計算します。bb（ul r'（t））= << 1,1,1 >>したがって、円弧の長さは次のようになります。L = int_1 ^ 2 || << 1,1,1 >> || dt = int_1 ^ 2 sqrt（1 ^ 1 + 1 ^ 2 + 1 ^ 2） dt = int_1 ^ 2 sqrt（3） dt = [sqrt（3）t] _1 ^ 2 = sqrt（3）（2-1） = sqrt（3）この簡単な結果は、与えられた元の式が直線であるため、当然のことです。