Tin [1、ln2]上のr（t）=（te ^（t ^ 2）、t ^ 2e ^ t、1 / t）の弧長はいくつですか。

回答：

アーク長 #~~ 2.42533 # （5dp）

下限は弧の長さが負の値です #1# の上限より大きい #ln2#

説明：

次式で与えられるパラメトリックベクトル関数があります。

#bb ul r（t）= << te ^（t ^ 2）、t ^ 2e ^ t、1 / t >>#

円弧長を計算するには、ベクトル微分が必要になります。これは、積規則を使用して計算できます。

#bb ul r '（t）= <<（t）（2te ^（t ^ 2））+（1）（e ^（t ^ 2））、（t ^ 2）（e ^ t）+（2t ）（e ^ t）、-1 / t ^ 2 >>#

# = = << 2t ^ 2e ^（t ^ 2）+ e ^（t ^ 2）、t ^ 2e ^ t + 2te ^ t、-1 / t ^ 2 >>#

次に、導関数ベクトルの大きさを計算します。

#| bb ul r '（t） = sqrt（（2t ^ 2e ^（t ^ 2）+ e ^（t ^ 2））^ 2 +（t ^ 2e ^ t + 2te ^ t）^ 2 +（-1 / t ^ 2）^ 2） ）#

# "" = sqrt（e ^（2 t）t ^ 4 + 1 / t ^ 4 + 4 e ^（2 t）t ^ 3 + 4 e ^（2 t）t ^ 2 + 4 e ^（2 t ^ 2）t ^ 2 + e ^（2 t ^ 2）+ 4 e ^（2 t ^ 2）t ^ 4）#

それから、次の式を使って円弧長を計算できます。

#L = int_（1）^（ln2） | bb ul r '（t） dt#

# = int_（1）^（ln2） sqrt（e ^（2 t）t ^ 4 + 1 / t ^ 4 + 4 e ^（2 t）t ^ 3 + 4 e ^（2 t）t ^ 2 + 4 e ^（2 t ^ 2）t ^ 2 + e ^（2 t ^ 2）+ 4 e ^（2 t ^ 2）t ^ 4） dt#

分析手法を使用してこの積分を計算することはできそうにないので、代わりに数値法を使用して近似を取得します。

#L ~~ 2.42533 # （5dp）

下限は弧の長さが負の値です #1# の上限より大きい #ln2#