回答：
B
説明：
まず、私たちが選ぶ数字を呼び出すことによって、数字が連続していなければならないという事実を利用するべきです。 #n-1、n、n + 1#制約を守れば #n# 間にある必要があります #-9# そして #9# 包括的。
次に、特定の値に対して一定の値が得られたら、 #a、b、c#これらの特定の値を入れ替えることはできますが、それでも同じ結果が得られます。 （これは順列性と呼ばれていますが、適切な用語を忘れていると思います）
だから私たちは単純にさせることができます #a = n-1#,#b = n#,#c = n + 1#では、これを接続します。
#（a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 + 3abc）/（a + b + c）^ 2#
#=（（n-1）^ 3 + n ^ 3 +（n + 1）^ 3 + 3（n-1）（n）（n + 1））/（n-1 + n + n + 1） ^ 2#
#=（n ^ 3-3n ^ 2 + 3n-1 + n ^ 3 + n ^ 3 + 3n ^ 2 + 3n + 1 + 3n（n ^ 2-1））/（3n）^ 2#
#=（n ^ 3 + 3n + n ^ 3 + n ^ 3 + 3n + 3n ^ 3-3）/（9n ^ 2）#
#=（6n ^ 3 + 6n-3）/（9n ^ 2）#
#=（2n ^ 3 + 2n-1）/（3n ^ 2）#
今私たちの問題はどのような値のために見になる #-9 <= n <= 9# この式は、整数値、つまりいくつの異なる値が得られるかを示します。
読みやすくするために、別の答えで解決策を続けます。
回答：
私の解決策のパート2これはモジュラ算術を使用することになりますが、それに慣れていないのであれば、のすべての必要な値に減算するオプションが常にあります。 #n#
説明：
式は整数値である必要があるため、下部は上部を正確に分割する必要があります。したがって、分子の係数は3でなければなりません。そしてこれには、モジュラ演算を使用する必要があります。
どのnが以下の条件を満たすか調べます。 #2n ^ 3 + 2n-1- = 0 mod3#
#2n ^ 3 + 2n- = 1 mod3#
#2n ^ 3 + 2n - = - 2 mod3#
#n ^ 3 + n - = - 1 mod3#
ケースワーク：
1.やってみます #n = 3k#
#LHS =（3k）^ 3 + 3k#
#= 3（9k ^ 3 + k） - = 0 mod3#うまくいかない
私達は試みます #n = 3k + 1#
#LHS =（3k + 1）^ 3 +（3k + 1）#
#=（3k + 1）^ 3 +（3k + 1）#
#= 27k ^ 3 + 27k ^ 2 + 27k + 1 + 3k + 1#
# - = 2 - = - 1 mod3#、うまくいく
3.やってみます #n = 3k-1#:
#LHS =（3k-1）^ 3 +（3k-1）#
#= 27k ^ 3-27k ^ 2 + 27k-1 + 3k-1#
#-=-2-=1#うまくいかない
だから私たちはそれを推測します #n# 形式でなければなりません #3k + 1#nの範囲を考えると、 #-9 <= n <= 9#可能な値は次のとおりです。
#n = -8、-5、-2、1、4、7#.
この時点であなたは以下の事実を使うことができるかもしれません。 #n = 3k + 1#しかし、チェックする値は6つしかないので、代わりにそれぞれ1つずつ計算することにしました。 #n# それはうまくいく #n = 1#の結果を生成する #1#.
だから最後に、整数の結果を生成する連続番号の唯一のセットは #0,1,2#、与える #1# したがって答えは #B#
