回答：
#int sqrt（x ^ 2 + 4x） dx = sinh（2cosh ^ -1（（x + 2）/ 2）） - 2cosh ^ -1（（x + 2）/ 2）+ C#
説明：
一つだけを扱う方が簡単なので #バツ# 平方根の下で、平方を完成させます。
#x ^ 2 + 4x =（x + 2）^ 2 + k#
#x ^ 2 + 4x = x ^ 2 + 4x + 4 + k#
#k = -4#
#x ^ 2 + 4x =（x + 2）^ 2-4#
#int sqrt（x ^ 2 + 4x） dx = int sqrt（（x + 2）^ 2-4） dx#
今度は三角関数の代入をする必要があります。双曲線三角関数を使用するつもりです（割線積分は通常あまり良くないので）。次のアイデンティティを使いたいです。
#cosh ^ 2（θ）-1 = sinh ^ 2（θ）#
これをするために、私たちは欲しいです #（x + 2）^ 2 = 4cosh ^ 2（θ）#。我々は解決することができます #バツ# 必要な置換を取得するには
#x + 2 = 2cosh（theta）#
#x = 2cosh（θ）-2#
に関して統合する #シータ#の導関数を掛けなければならない #バツ# に関して #シータ#:
#dx /（dθ）= 2sinh（θ）#
#int sqrt（（x + 2）^ 2-4） dx = int sqrt（（2cosh（theta））^ 2-4）* 2sinh（theta） d theta =#
#= 2int sqrt（4cosh ^2θ-4）* sinh（θ） d theta = 2int sqrt（4（cosh ^ 2（θ）-1））* sinh（θ）dθ=#
#= 2 * sqrt（4）int sqrt（cosh ^ 2（θ）-1）* sinh（θ） d theta =#
今、私たちはアイデンティティを使うことができます #cosh ^ 2（θ）-1 = sinh ^ 2（θ）#:
#= 4int sqrt（sinh ^ 2（θ））* sinh（θ） d theta = 4int sinh ^ 2（θ） d theta#
今、私たちはアイデンティティを使います：
#sinh ^2θ= 1/2（cosh（2theta）-1）#
#4 / 2int cosh（2theta）-1 d theta = int 2cosh（2theta） d theta-2theta =#
のために明示的なu置換をすることができます #2cosh（2theta）#しかし、その答えが #シン（2シータ）#:
#= sinh（2θ）-2θ+ C#
今度は置換を元に戻す必要があります。我々は解決することができます #シータ# 取得するため：
#theta = cosh ^ -1（（x + 2）/ 2）#
これは与える：
#sinh（2cosh ^ -1（（x + 2）/ 2）） - 2cosh ^ -1（（x + 2）/ 2）+ C#
