Int_2 ^ kx ^ 5dx = 0であるkのすべての値は何ですか？

回答：

下記参照。

説明：

#int_2 ^ kx ^ 5 dx = 1/6（k ^ 6-2 ^ 6）#

そして

#k ^ 6-2 ^ 6 =（k ^ 3 + 2 ^ 3）（k ^ 3-2 ^ 3）# しかし

#k ^ 3 + 2 ^ 3 =（k + 2）（k ^ 2-2k + 2 ^ 2）# そして

#k ^ 3-2 ^ 3 =（k-2）（k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2）# そう

#k ^ 6-2 ^ 6 =（k + 2）（k ^ 2-2k + 2 ^ 2）（k-2）（k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2）#

または

#{（k + 2 = 0）、（k ^ 2-2k + 2 ^ 2 = 0）、（k-2 = 0）、（k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2 = 0）：}#

そして最後に

本当の価値 #k = {-2,2}#

複素数 #k = {-1pm i sqrt3、1pm i sqrt3}#

回答：

#k = + - 2#

説明：

我々は必要とします：

#int_2 ^ k x ^ 5 dx = 0#

統合すると、次のようになります。

#x ^ 6/6 _2 ^ k = 0#

#：。 1/6 色（白）（ "" / ""）x ^ 6 _2 ^ k = 0#

#：。 1/6（k ^ 6-2 ^ 6）= 0#

#：。 （k ^ 3）^ 2-（2 ^ 3）^ 2 = 0#

#：。 k ^ 3 = + - 2 ^ 3#

#：。 k = + - 2#,

仮定して RR#の#k （実際にあります #6# ルーツ、 #4# そのうちの複雑なものです）

さて、問題の文脈によっては、次のように主張することができます。 #k <2# （すなわち #k = -2#）は無効です #k> = 2# 内部を「適切」にしてその解決策を除外するために、しかしいかなる文脈もなく両方の解決策を含めることは合理的です。

また、 #k = + - 2# 実際に統合を実行しなくても、解決策であることがわかります。

まず、定積分の性質は次のとおりです。

#int_a ^ a f（x）= 0#

だから我々はすぐに確立することができ #k = 2# 解決策です。

次に、 #x ^ 5# です 変わった 関数、および奇数関数は以下を満たします。

#f（-x）= f（x）#

原点を中心に回転対称です。そのように、 #f（x）# その時は変です：

#int_（a）^ a f（x）= 0#

だから私たちはすぐに確立することができます #k = -2# 解決策です。

積分とその後の計算は、しかしながら、これらが唯一の解決策であることを証明しています！