次の方程式を解いてください。x ^ 8-10x ^ 4 + 9 = 0？

回答：

#x = + -1、+ -i、+ -sqrt（3）、+ -sqrt（3）i#

説明：

与えられた：

#x ^ 8-10 x ^ 4 + 9 = 0#

これは実質的に2次方程式であることに注意してください。 #x ^ 4# そのようです：

#（x ^ 4）^ 2-10（x ^ 4）+9 = 0#

これを因数分解して見つけることができます。

#0 =（x ^ 4）^ 2-10（x ^ 4）+9 =（x ^ 4-1）（x ^ 4-9）#

残りの四次因子はそれぞれ二乗の差ですので、次のように使用できます。

#A ^ 2-B ^ 2 =（A-B）（A + B）#

見つけるには：

#x ^ 4-1 =（x ^ 2）^ 2-1 ^ 2 =（x ^ 2-1）（x ^ 2 + 1）#

#x ^ 4-9 =（x ^ 2）^ 2 - 3 ^ 2 =（x ^ 2-3）（x ^ 2 + 3）#

残りの2次因子もすべて2乗の差として考慮されますが、それらのいくつかを行うには無理係数や複素係数を使用する必要があります。

#x ^ 2-1 = x ^ 2-1 ^ 2 =（x-1）（x + 1）#

#x ^ 2 + 1 = x ^ 2-i ^ 2 =（x-i）（x + i）#

#x ^ 2-3 = x ^ 2-（sqrt（3））^ 2 =（x-sqrt（3））（x + sqrt（3））#

#x ^ 2 + 3 = x ^ 2-（sqrt（3）i）^ 2 =（x-sqrt（3）i）（x + sqrt（3）i）#

したがって、元のオクティック多項式のゼロは次のようになります。

#x = + -1、+ -i、+ -sqrt（3）、+ -sqrt（3）i#