これの合計を計算する方法？ sum_（n = 1）^ oo（-1）^ n n（n-1）x ^ n

回答：

下記参照。

説明：

検討中 #abs x <1#

#sum_（n = 1）^ oo（-1）^ nn（n-1）x ^ n = x ^ 2 d ^ 2 /（dx ^ 2）sum_（n = 1）^ oo（-x）^ n #

しかし #sum_（n = 1）^ oo（-x）^ n = 1 /（1 - （ - x）） - 1# そして

#d ^ 2 /（dx ^ 2）sum_（n = 1）^ oo（-x）^ n = 2 /（x + 1）^ 3# それから

#sum_（n = 1）^ oo（-1）^ n n（n-1）x ^ n =（2x ^ 2）/（x + 1）^ 3#

回答：

#sum_（n = 1）^ oo（-1）^ n n（n-1）x ^ n =（2x ^ 2）/（1 + x）^ 3# いつ #| x | <1#

説明：

いくつかの係数を書き出すことから始めます。

#sum_（n = 1）^ oo（-1）^ n n（n-1）x ^ n = 2x ^ 2-6x ^ 3 + 12x ^ 4-20x ^ 5 … =#

最初に調べたいのは、係数（ #バツ# 次の式でシリーズを乗算およ び除算することによって非常に簡単に調整できます。 #バツ#それほど重要ではありません。これらはすべて2の倍数であることがわかります。したがって、2の因数を引き出すことができます。

#= 2（x ^ 2-3x ^ 3 + 6x ^ 4-10x ^ 5 …）#

このかっこ内の係数は、べき乗の二項級数として認識されます。 #アルファ= -3#:

#（1 + x）^ alpha = 1 + alphax +（alpha（alpha-1））/（2！）x ^ 2 +（alpha（alpha-1）（alpha-2））/（3！）x ^ 3 …#

#（1 + x）^ - 3 = 1-3x + 6x ^ 2-10x ^ 3 …#

かっこ内のすべての項の指数は、先ほど導出した級数に比べて2倍大きいことに気付いたので、乗算する必要があります。 #x ^ 2# 正しいシリーズを得るために：

#2x ^ 2（1 + x）^ - 3 = 2x ^ 2-6x ^ 3 + 12x ^ 4-20x ^ 5 …#

これは、我々の級数が（収束するときに）次のものと等しいことを意味します。

#（2x ^ 2）/（1 + x）^ 3#

間違えなかったことを確認するためだけに、二項級数を使って次のようにして級数を計算することができます。 #2x ^ 2（1 + x）^ - 3#:

#2x ^ 2（1 + x）^ - 3 = 2x ^ 2（1-3x +（（ - 3）（ - 4））/（2！）x ^ 2 +（（ - 3）（ - 4）（ - 5））/（3！）x ^ 3 …）=#

#= 2x ^ 2（1-3x +（4！）/（2 * 2！）x ^ 2-（5！）/（2 * 3！）x ^ 3 …）=#

#= 2x ^ 2（1-3x +（4 * 3）/ 2x ^ 2-（5 * 4）/ 2x ^ 3 …）=#

このパターンは次のように説明できます。

#= 2x ^ 2sum_（n = 0）^ oo（-1）^ n（n（n-1））/ 2x ^（n-2）= sum_（n = 0）^ oo（-1）^ nn（ n-1）x ^ n#

最初の学期はちょうど #0#、 我々は書ける：

#sum_（n = 1）^ oo（-1）^ n n（n-1）x ^ n#

これは私たちが始めたシリーズで、結果を検証しています。

ここで、シリーズが実際に値を持っているときを確認するために、収束間隔を見つける必要があります。これを行うには、二項級数の収束条件を調べて、次の場合に級数が収束することを確認します。 #| x | <1#