回答：
#（x、y）= {ac + bd} / {ad - bc}（d-b、a-c）#
説明：
私は新しい質問をするよりもむしろこの古い質問を一般化しました。私は以前に回心質問のためにこれをしました、そして、悪いことは何も起こらなかったので、私はシリーズを続けます。
前と同じように、代数を扱いやすいようにするために1つの頂点を原点に置きます。任意の三角形は簡単に変換され、結果は簡単に逆変換されます。
オルソセンターは、三角形の高度の交点です。その存在は、三角形の高度が一点で交差するという定理に基づいています。 3つの高度は 同時.
三角形OPQの高度が同時であることを証明しましょう。
辺OPの方向ベクトルは #P-O = P =（a、b）、# これは、斜面が #b / a# （しかし方向ベクトルは #a = 0#）ここでは座標を交換してそれを否定することによって垂線の方向ベクトルを得ます。 #（b、-a）# 垂直方向はゼロドット積で確認されます。
#（a、b）cdot（b、-a）= ab-ba = 0 quad sqrt#
OPからQまでの高度のパラメトリック方程式は、次のようになります。
#（x、y）= Q + t（b、-a）=（c、d）+ t（b、-a）quad# 実際に #t#
OQからPへの高度も同様です。
#（x、y）=（a、b）+ u（d、-c）quad# 実際に #u#
PQの方向ベクトルは #Q-P =（c-a、d-b）#。原点を通る垂線、つまりPQからの高度は、
#（x、y）= v（d - b、a - c）quad# 実際に #v#
OPとPQからの高度の出会いを見てみましょう。
#（c、d）+ t（b、-a）= v（d-b、a-c）#
これは2つの未知数の2つの方程式です。 #t# そして #v#.
#c + bt = v（d-b）#
#d-at = v（a-c）#
最初のものを掛けます #a# そして第二によって #b#.
#ac + abt = av（d-b）#
#bd-abt = bv（a-c）#
追加しています、
#ac + bd = v（a（d-b）+ b（a-c））= v（ad - ab + ab - bc）#
#v = {ac + bd} / {ad - bc}#
ドット積を分子に、クロス積を分母にしてクールになります。
出会いは推定オルソセンター #（x、y）#:
#（x、y）= v（d-b、a-c）= {ac + bd} / {ad - bc}（d-b、a-c）#
次にOQとPQから高度の出会いを見つけましょう。対称性によって私達はちょうど交換できます #a# と #c# そして #b# と #d#。結果を呼び出します #（x '、y'）#
#（x '、y'）= {ca + db} / {cb - da}（b-d、c-a）= {ac + bd} / {ad - bc}（d-b、a-c）#
これら2つの交差点は同じです。 #（x '、y'）=（x、y）、# それで我々は高度が同時であることを証明した。 #quad sqrt#
共通の交差点の名前を正当化しました。 オルソセンター そしてその座標を見つけました。
#（x、y）= {ac + bd} / {ad - bc}（d-b、a-c）#
