Tan3x = 3Tanx-Tan ^ 3xによる1-3tan ^ 2xそれを証明する?

Tan3x = 3Tanx-Tan ^ 3xによる1-3tan ^ 2xそれを証明する?
Anonim

回答:

親切に 証明 の中に 説明。

説明:

我々は持っています、 #tan(x + y)=(tanx + tany)/(1-tanxtany)…………(ひし形)#.

させる #x = y = A#、 我々が得る、

#tan(A + A)=(tanA + tanA)/(1-tanA * tanA)#.

#: tan2A =(2tanA)/(1-tan ^ 2A)………….(diamond_1)#.

さて、私たちは #(菱形)、x = 2A、およびy = A#.

#: tan(2A + A)=(tan2A + tanA)/(1-tan2A * tanA)#.

#: tan3A = {(2tanA)/(1-tan ^ 2A)+ tanA} / {1-(2tanA)/(1-tan ^ 2A)* tanA}#, #= {(2tanA + tanA(1-tan ^ 2A))/(1-tan ^ 2A)} - :{1-(2tan ^ 2A)/(1-tan ^ 2A)}#, #=(2tanA + tanA-tan ^ 3A)/(1-tan ^ 2A-2tan ^ 2A)#.

#rArr tan3A =(3tanA-tan ^ 3A)/(1-3tan ^ 2A)#, 望んだ通りに!

De Moivreの最初の原則からそれをしましょう。

#cos 3 x + i sin 3 x =(cos x + i sin x)^ 3#

を使う #1,3,3,1# パスカルの三角形の行

#cos 3 x + 3 x 3罪

#= cos ^ 3 x + 3 cos ^ 2 x(i sin x)+ 3 cos x(i ^ 2 sin ^ 2 x)+ i ^ 3 sin ^ 3 x#

#=(cos ^ 3 x - 3 cos x sin ^ 2 x)+ i(3 cos ^ 2 x sin x - sin ^ 3 x)#

実数部と虚数部をそれぞれ等しくする

# cos 3 x = cos ^ 3 x - 3 cos x sin ^ 2 x#

# sin 3x = 3 cos ^ 2 x sin x - sin ^ 3 x#

これらは(かなりあいまいな形式の)三角式であり、通常はこれらまたはもっと標準的な形式を書き留めて、ここから始めます。

# tan 3x = frac {sin 3x} {cos 3x} = frac {3 cos ^ 2 x sin x - sin ^ 3 x} {cos ^ 3 x-3 cos x sin ^ 2 x} cdot frac {1 / cos ^ 3 x} {1 / cos ^ 3 x}#

#tan 3x = frac {3 tan x - tan ^ 3 x} {1 - 3 tan ^ 2 x} quad square#