これらの記述を理解するために、私達は最初に使用されている表記法を理解しなければなりません。
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#AA# - すべてのために - この記号は、集合内のすべての例で何かが成り立つことを意味します。だから、変数を追加すると#バツ# ,#AAx# いくつかの記述は、我々が代用することができるすべての可能な価値またはアイテムに適用されることを意味します#バツ# . -
#P（x）、Q（x）# - 命題 - これらは論理的な命題です#バツ# つまり、それらは、#バツ# これは、特定のものについては真か偽です。#バツ# . -
# # - そして - この記号は複数の命題の組み合わせを可能にします。両方の命題がtrueを返す場合は結合された結果がtrue、そうでない場合はfalseが返されます。 -
# # - または - この記号は複数の命題の組み合わせも可能にします。両方の命題がfalseを返す場合、結合された結果はfalseです。それ以外の場合はtrueです。 -
# # - 場合に限り - この記号は複数の命題の組み合わせも可能にします。両方の命題がすべての命題に対して同じ真理値を返す場合、組み合わせた結果は真です。#バツ# それ以外の場合はfalse。
これで、ステートメントを翻訳することができます。直接言い換えると、最初のステートメントは、「すべてのx、Pのx、およびすべてのx、xのQの場合に限り、すべてのx、Pのx、およびQのx」のように聞こえます。
いくつかのマイナーな追加と修正はそれをもう少しわかりやすくします。
「すべてのxに対して、Pがすべてのxに対して真であり、Qがすべてのxに対して真である場合に限り、PおよびQはxに対して真です。」
これはトートロジーです。つまり、PやQに代入するものに関係なく、これは当てはまります。これは、 の前の命題がそれ以降のものを暗示していることを実証することによって証明できます。
前の声明から始めて、私たちにはそれが
の後に書かれている文から始めれば、次のことがわかります。
2番目の文は偽です。上記のように完全なプロセスを通らずに、 の両側の2つの命題が必ずしも同じ真理値を持つわけではないことを簡単に示すことができます。たとえば、可能なすべての半分について
この場合、すべては
2つの命題は異なる真理値を持っているので、明らかに一方の真実は他方の真実を保証するものではなく、それでそれらを と結合することは誤った新しい命題をもたらします。