Xが0に近づくにつれて（arctan（x））/（5x）の限界をどのように見つけますか。

回答：

#lim_（x-> 0）（arctan x）/（5x）= 1/5#

説明：

この限界を見つけるために、分子と分母の両方が #0# として #バツ# アプローチ #0#。これは我々が不定形式を得ることを意味しているので、L'Hospitalのルールを適用することができます。

#lim_（x-> 0）（arctan x）/（5x） - > 0/0#

L'Hospitalの規則を適用することにより、分子と分母の導関数を取り、

#lim_（x-> 0）（1 /（x ^ 2 + 1））/（5）= lim_（x-> 0）1 /（5x ^ 2 + 5）= 1 /（5（0）^ 2 +5）= 1/5#

関数をグラフ化してこれをチェックして、 #バツ# アプローチ。

のグラフ #arctan x /（5x）#:

グラフ{（arctan x）/（5x）-0.4536、0.482、-0.0653、0.4025}

回答：

trigを使用したもっと長い方法を以下に説明します。

説明：

万が一L'Hopitalのルールに慣れていない、またはまだそれに触れていない場合は、逆正接関数の定義を使用して問題を解決する別の方法があります。

それを思い出して #tantheta = x#それから #theta = arctanx#;これは本質的にアークタンジェントがタンジェントの逆であることを意味します。この情報を使って、三角形を作成することができます。 #tantheta = x# そして #theta = arctanx#:

図から、それは明らかです #tantheta = x / 1 = x#。以来 #tantheta =シンテタ/ costheta#これを次のように表現できます。

#tantheta = x#

# - > sintheta / costheta = x#

これに加えて、 #theta = arctanx#、私達は限界の取り替えをしてもいいです：

#lim_（x-> 0）arctanx /（5x）#

# - > lim_（theta-> arctan0）theta /（5sintheta / costheta）#

# - > lim_（theta-> 0）theta /（5sintheta / costheta）#

これは以下と同等です。

#lim_（theta-> 0）1/5 * lim_（theta-> 0）theta * lim_（theta-> 0）costheta / sintheta#

# - > 1/5 * lim_（theta-> 0）theta / sintheta * lim_（theta-> 0）costheta#

私達はことを知っています #lim_（x-> 0）sintheta / theta = 1#;そう #lim_（x-> 0）1 /（sintheta / theta）= 1/1# または #lim_（x-> 0）theta / sintheta = 1#。それ以来 #cos0 = 1#制限は次のように評価されます。

#1/5 * lim_（theta-> 0）theta / sintheta * lim_（theta-> 0）costheta#

#->1/5*(1)*(1)=1/5#