複素数は次の形式の数です。 #a + bi# どこで #a# そして #b# 実数であり #私# と定義されている #i = sqrt（-1）#.
（上記は複素数の基本的な定義です。それらについてもう少し詳しく読んでください。）
実数の集合を次のように表す方法とよく似ています。 #RR#複素数の集合を #CC#。すべての実数は、実数のように複素数でもあることに注意してください。 #バツ# 次のように書くことができます #x + 0i#.
複素数を考える #z = a + bi#、私達はそれを言う #a# それは 実部 複素数の # "Re"（z）#）と #b# それは 虚数部 複素数の # "Im"（z）#).
複素数で演算を実行することは、二項式で演算を実行することと似ています。 2つの複素数を考える #z_1 = a_1 + b_1i# そして #z_2 = a_2 + b_2i#
#z_1 + z_2 = a_1 + b_1i + a_2 + b_2i =（a_1 + a_2）+（b_1 + b_2）i#
#z_1-z_2 = a_1 + b_1 - （a_2 + b_2i）=（a_1-a_2）+（b_1-b_2）i#
#z_1xxz_2 =（a_1 + b_1i）（a_2 + b_2i）#
#= a_1a_2 + a_1b_2i + a_2b_1i + b_1b_2i ^ 2#
#= a_1a_2 + a_1b_2i + a_2b_1i-b_1b_2# （覚えている #i = sqrt（-1）#)
#=（a_1a_2-b_1b_2）+（a_1b_2 + a_2b_1）i#
#z_1-：z_2 =（a_1 + b_1i）/（a_2 + b_2i）#
#=（（（a_1 + b_1i）（a_2-b_2i））/（（a_2 + b_2i）（a_2-b_2i））#
#=（（（a_1a_2 + b_1b_2）+（a_2b_1-a_1b_2）i）/（a_2 ^ 2 + b_2 ^ 2）#
#=（a_1a_2 + b_1b_2）/（a_2 ^ 2 + b_2 ^ 2）+（a_2b_1-a_1b_2）/（a_2 ^ 2 + b_2 ^ 2）i#
分割については、 #（a + bi）（a-bi）= a ^ 2 + b ^ 2#。複素数を考える #z = a + bi# 私達は呼ぶ #a-bi# の 複素共役 の #z# そしてそれを表す #bar（z）# それは（上で見たように）有用な特性です #zbar（z）# 常に実数です。
複素数には多くの有用なアプリケーションと属性がありますが、早い時期によく遭遇するのは多項式の因数分解での使用です。実数だけに限定するならば、のような多項式 #x ^ 2 + 1# これ以上因数分解することはできませんが、複素数を許容すれば、 #x ^ 2 + 1 =（x + i）（x-i）#.
実際、複素数を許容するならば、 どれか 次数の単一変数多項式 #n# の積として書くことができる #n# 線形因子（場合によっては同じものもあります）。この結果は、 代数の基本定理 そして、その名前が示すように、代数にとって非常に重要であり、広い応用があります。
