Int x ^ lnxを統合する方法

回答：

#int x ^ ln（x） dx = e ^（ - 1/4）sqrtpi / 2erfi（ln（x）+1 / 2）+ C#

説明：

u置換で始まります。 #u = ln（x）#。次に、の導関数で除算します。 #u# に関して統合する #u#:

#（du）/ dx = 1 / x#

#int x ^ ln（x） dx = int x * x ^ u du#

今私達はのために解決する必要があります #バツ# の面では #u#:

#u = ln（x）#

#x = e ^ u#

#int x * x ^ u du = int e ^ u *（e ^ u）^ u du = int e ^（u ^ 2 + u） du#

あなたはこれが基本的な反デリバティブを持っていないと思うかもしれません、そしてあなたは正しいでしょう。ただし、虚数誤差関数には次の形式を使用できます。 #erfi（x）#:

#erfi（x）= int 2 / sqrtpie ^（x ^ 2） dx#

積分をこの形式にするためには、の指数に1つの平方変数しかないかもしれません。 #e#だから、我々は広場を完成する必要があります：

#u ^ 2 + u =（u + 1/2）^ 2 + k#

#u ^ 2 + u = u ^ 2 + u + 1/4 + k#

#k = -1 / 4#

#u ^ 2 + u =（u + 1/2）^ 2-1 / 4#

#int e ^（u ^ 2 + u） du = int e ^（（u + 1/2）^ 2-1 / 4） du = e ^（ - 1/4）int e ^（ （u + 1/2）^ 2） du#

これでu置換を導入することができます #t = u + 1/2#。導関数は #1#ですので、統合に関して特別なことをする必要はありません。 #t#:

#e ^（ - 1/4）int e ^（t ^ 2） dt = e ^（ - 1/4）* sqrtpi / 2int 2 / sqrtpie ^（t ^ 2） dt = e ^（ - 1/4）sqrtpi / 2 * erfi（t）+ C#

これで、すべての置換を元に戻すことができます。

#e ^（ - 1/4）sqrtpi / 2erfi（u + 1/2）+ C = e ^（ - 1/4）sqrtpi / 2erfi（ln（x）+1 / 2）+ C#