半角式を使ってtan 112.5度の正確な値をどのようにして見つけますか?

半角式を使ってtan 112.5度の正確な値をどのようにして見つけますか?
Anonim

回答:

#tan(112.5)= - (1 + sqrt(2))#

説明:

#112.5=112 1/2=225/2#

NB: この角度は第2象限にあります。

#=> tan(112.5)= tan(225/5)= sin(225/2)/ cos(225/2)= - sqrt(sin(225/2)/ cos(225/2) ^ 2) = -sqrt(sin ^ 2(225/2)/ cos ^ 2(225/2))#

の値が #tan# 常に 負 第二象限で!

次に、以下の半角式を使います。

#sin ^ 2(x / 2)= 1/2(1-cosx)#

#cos ^ 2(x / 2)= 1/2(1 + cosx)#

#=> tan(112.5)= - sqrt(sin ^ 2(225/2)/ cos ^ 2(225/2))= - sqrt((1/2(1-cos(225)))/(1 / 2(1 + cos(225)))= -sqrt((1-cos(225))/(1 + cos(225)))#

次のことに注意してください。 #225 = 180 + 45 => cos(225)= - cos(45)#

#=> tan(112.5)= - sqrt((1 - ( - cos45))/(1 +( - cos45)))= - sqrt((1 + sqrt(2)/ 2)/(1-sqrt(2) )/ 2))= sqrt((2 + sqrt(2))/(2-sqrt(2)))#

今度は合理化したいと思います。

#=> - sqrt((((2 + sqrt(2)))xx(2 + sqrt(2)))/((2-sqrt(2))xx(2 + sqrt(2)))= -sqrt( ((2 + sqrt(2)^ 2)/(4-2))= - (2 + sqrt(2))/ sqrt(2)= - (sqrt(2)xx(2 + sqrt(2))) )/(sqrt2xxsqrt2)= - (2sqrt2 + 2)/ 2 =色(青)( - (1 + sqrt(2)))#

回答:

日焼け112.5を見つける

回答:(-1 - sqrt2)

説明:

tan 112.5 = tan tと呼ぶ

tan 2 t = tan 225 = tan(45 + 180)= tan 45 = 1

トリガIDを使用します。 #tan 2t =(2t)/(1 - t ^ 2)# -->

#1 =(2t)/(1 - t ^ 2)# --> #t ^ 2 + 2t - 1 = 0#

#D = d ^ 2 = b ^ 2 - 4ac = 4 + 4 = 8 - > d = + - 2sqrt2#

#t = tan 112.5 = -2 / 2 + - (2sqrt2)/ 2 = - 1 + - sqrt2#

t = 112.5 degは第2象限にあるので、そのtanは負であり、それから負の答えだけが受け入れられます:(-1 - sqrt2)