回答：
下記参照。
説明：
残念ながら、積分の中の関数は初等関数の観点から表現できないものに統合されません。これを行うには数値的な方法を使わなければならないでしょう。
シリーズ展開を使用して おおよその値.
幾何学的系列から始めます。
#1 /（1-r）= 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + r ^ 4 … = sum_（n = 0）^ oまたは^ n# にとって #rlt1#
今に関して統合する #r# そして限界を使う #0# そして #バツ# これを取得する：
#int_0 ^ x1 /（1-r）dr = int_0 ^ x 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + … dr#
左側を積分する：
#int_0 ^ x1 /（1-r）dr = - ln（1-r） _ 0 ^ x = -ln（1-x）#
ここで、用語を用語ごとに統合することによって右側を統合します。
#int_0 ^ x 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + … dr = r + r ^ 2/2 + r ^ 3/3 + r ^ 4/4 … _ 0 ^ x#
#= x + x ^ 2/2 + x ^ 3/3 + x ^ 4/4 + …#
つまり、
#-ln（1-x）= x + x ^ 2/2 + x ^ 3/3 + x ^ 4/4 + …#
#impliesln（1-x）= -x-x ^ 2/2-x ^ 3/3-x ^ 4/4 + …#
今で割る #バツ#:
#ln（1-x）/ x =（ - x-x ^ 2/2-x ^ 3/3-x ^ 4/4 + …）/ x#
#= - 1-x / 2-x ^ 2/3-x ^ 3/4 -…#
それで我々は今我々が最初に始めた関数のべき級数表現を持っています。最後に、再度統合して次のものを取得できます。
#int_0 ^ 1ln（1-x）/ x = int_0 ^ 1-1-x / 2-x ^ 2/3-x ^ 3/4 -… dx#
右側の用語を用語ごとに統合すると、次のようになります。
#int_0 ^ 1ln（1-x）/ x = - x-x ^ 2/4-x ^ 3/9-x ^ 4/16 -… _ 0 ^ 1#
4項までの制限を評価すると、おおよその値がわかります。
#int_0 ^ 1ln（1-x）/ x ~~ {-1-1 ^ 2 / 4-1 ^ 3 / 9-1 ^ 4/16} - {0}#
#=-(1+1/4+1/6+1/16+…)=-205/144~~-1.42361#
今、これはわずか4つの用語です。もっと正確な数字が欲しいなら、単にシリーズの中でもっと多くの用語を使ってください。たとえば、100番目の用語に行きます。
#int_0 ^ 1ln（1-x）/x~~-1.63498#
余談ですが、まったく同じプロセスで作業するが合計表記法を使用する場合（つまり、シリーズの用語を書き出すのではなく、大きなシグマを使用する場合）、次のようになります。
#int_0 ^ 1ln（1-x）/ xdx = -sum_（n = 0）^ oo1 / n ^ 2#
これはちょうど2のRiemann-Zeta関数です。
#int_0 ^ 1ln（1-x）/ xdx = -sum_（n = 0）^ oo1 / n ^ 2 = -zeta（2）#
私達は実際に既にこれの価値があることを知っている： #zeta（2）= pi ^ 2/6#.
したがって、積分の正確な値は次のように推定できます。
#int_0 ^ 1ln（1-x）/ xdx = -pi ^ 2/6#
