もしあれば、f（x）= xsin（1 / x）の漸近線と穴は何ですか？

回答：

以下を参照してください。

説明：

まあ、明らかに穴があいている #x = 0#、除算 #0# 不可能です。

関数をグラフ化することができます。

グラフ{xsin（1 / x）-10、10、-5、5}

他の漸近線や穴はありません。

回答：

#f（x）# に穴（取り外し可能な不連続）があります #x = 0#.

水平漸近線もあります #y = 1#.

垂直または斜めの漸近線はありません。

説明：

与えられた：

#f（x）= x sin（1 / x）#

私はいくつかのプロパティを使用します #sin（t）#すなわち：

• #abs（sin t）<= 1 ""# のすべての実数値に対して #t#.

• #lim_（t-> 0）sin（t）/ t = 1#

• #sin（-t）= -sin（t） ""# のすべての値に対して #t#.

まず注意してください #f（x）# 偶数関数です。

#f（-x）=（-x）sin（1 /（ - x））=（-x）（ - sin（1 / x））= x sin（1 / x）= f（x）#

我々は気づく：

#abs（x sin（1 / x））= abs（x）abs（sin（1 / x））<= abs（x）#

そう：

#0 <= lim_（x-> 0+）abs（x sin（1 / x））<= lim_（x-> 0+）abs（x）= 0#

これは #0#そうです #lim_（x-> 0+）x sin（1 / x）#

また、 #f（x）# 偶数です：

#lim_（x-> 0 ^ - ）x sin（1 / x）= lim_（x-> 0 ^ +）x sin（1 / x）= 0#

ご了承ください #f（0）# 除算が含まれるため、未定義です。 #0#しかし、左右両方の制限が存在し、 #x = 0#それで、そこに穴（取り外し可能な不連続）があります。

私達はまた見つけます：

#lim_（x-> oo）x sin（1 / x）= lim_（t-> 0 ^ +）sin（t）/ t = 1#

同様に：

#lim_（x - > - oo）x sin（1 / x）= lim_（t-> 0 ^ - ）sin（t）/ t = 1#

そう #f（x）# 水平漸近線をもつ #y = 1#

グラフ{x sin（1 / x）-2.5、2.5、-1.25、1.25}