どのようにしてint sec ^ -1xを部分積分法で積分するのですか？

回答：

答えは #= x "arc" secx-ln（x + sqrt（x ^ 2-1））+ C#

説明：

必要です

#（sec ^ -1x） '=（ "arc" secx）' = 1 /（xsqrt（x ^ 2-1））#

#intsecxdx = ln（sqrt（x ^ 2-1）+ x）#

部品による統合は

#intu'v = uv-intuv '#

ここでは、

#u '= 1#, #=>#, #u = x#

#v = "arc" secx#, #=>#, #v '= 1 /（xsqrt（x ^ 2-1））#

したがって、

#int "arc" secxdx = x "arc" secx-int（dx）/（sqrt（x ^ 2-1））#

代入によって2番目の積分を実行する

みましょう #x = secu#, #=>#, #dx = secutanudu#

#sqrt（x ^ 2-1）= sqrt（sec ^ 2u-1）= tanu#

#intdx / sqrt（x ^ 2-1）= int（secutanudu）/（tanu）= intsecudu#

#= int（secu（secu + tanu）du）/（secu + tanu）#

#= int（（sec ^ 2u + secutanu）du）/（secu + tanu）#

みましょう #v = secu + tanu#, #=>#, #dv =（sec ^ 2u + secutanu）du#

そう、

#intdx / sqrt（x ^ 2-1）= int（dv）/（v）= lnv#

#= ln（secu + tanu）#

#= ln（x + sqrt（x ^ 2-1））#

最後に、

#int "arc" secxdx = x "arc" secx-ln（x + sqrt（x ^ 2-1））+ C#

回答：

#int sec ^ -1（x） dx = xsec ^ -1（x）-ln（| x | + sqrt（x ^ 2-1））+ C#

説明：

あるいは、逆関数の積分を解くために、あまり知られていない公式を使うことができます。式は次のように述べています。

#int f ^ -1（x） dx = xf ^ -1（x）-F（f ^ -1（x））+ C#

どこで #f ^ -1（x）# の逆行列 #f（x）# そして #F（x）# の逆導関数です。 #f（x）#.

私たちの場合は、次のようになります。

#int sec ^ -1（x） dx = xsec ^ -1（x）-F（sec ^ -1（x））+ C#

今私達が解決する必要があるのは反派生物だけです #F#これはおなじみの割線積分です。

#int sec（x） dx = ln | sec（x）+ tan（x）| + C#

これを式に差し込むと、最終的な答えが得られます。

#int sec ^ -1（x） dx = xsec ^ -1（x）-ln | sec（sec ^ -1（x））+ tan（sec ^ -1（x））| + C#

単純化することに注意する必要があります #tan（sec ^ -1（x））# に #sqrt（x ^ 2-1）# 身元が有効なのは #バツ# ポジティブです。しかし、対数の内側の他の項に絶対値を入れることでこれを修正できるので、私たちはラッキーです。対数の内側のすべてが常に正になるので、これは最初の絶対値の必要性も取り除きます。

#xsec ^ -1（x）-ln（| x | + sqrt（x ^ 2-1））+ C#