二等辺三角形の2つの角が（1、3）と（9、4）にあります。三角形の面積が64の場合、三角形の一辺の長さはいくつですか？

回答：

三角形の辺の長さは次のとおりです。

#sqrt（65）、sqrt（266369/260）、sqrt（266369/260）#

説明：

2点間の距離 #（x_1、y_1）# そして #（x_2、y_2）# 距離の式で与えられます。

#d = sqrt（（x_2-x_1）^ 2 +（y_2-y_1）^ 2）#

だから間の距離 #（x_1、y_1）=（1、3）# そして #（x_2、y_2）=（9、4）# です：

#sqrt（（9-1）^ 2 +（4-3）^ 2）= sqrt（64 + 1）= sqrt（65）#

これは不合理な数より少し大きいです #8#.

三角形の他の辺の1つが同じ長さの場合、三角形の最大可能面積は次のようになります。

#1/2 * sqrt（65）^ 2 = 65/2 <64#

だからそれは事実ではありません。代わりに、他の2辺は同じ長さでなければなりません。

辺を持つ三角形を考える #a = sqrt（65）、b = t、c = t#ヘロンの式を使ってその面積を求めることができます。

ヘロンの公式は、辺がある三角形の面積 #a、b、c# そして半周 #s = 1/2（a + b + c）# によって与えられます：

#A = sqrt（s（s-a）（s-b）（s-c））#

私たちの場合、半周長は次のとおりです。

#s = 1/2（sqrt（65）+ t + t）= t + sqrt（65）/ 2#

ヘロンの公式は、

#64 = 1 / 2sqrt（（t + sqrt（65）/ 2）（t-sqrt（65）/ 2）（sqrt（65）/ 2）（sqrt（65）/ 2））#

#色（白）（64）= 1/2平方フィート（65/4（t ^ 2-65 / 4））#

両端を乗じる #2# 取得するため：

#128 = sqrt（65/4（t ^ 2-65 / 4））#

得るために両側を正方形にする：

#16384 = 65/4（t ^ 2-65 / 4）#

両側を掛ける #4/65# 取得するため：

#65536/65 = t ^ 2-65 / 4#

転置して追加 #65/4# 両側に得るために：

#t ^ 2 = 65536/65 + 65/4 = 262144/260 + 4225/260 = 266369/260#

両側に正の平方根をとる：

#t = sqrt（266369/260）#

三角形の辺の長さは、

#sqrt（65）、sqrt（266369/260）、sqrt（266369/260）#

代替方法

ヘロンの式を使う代わりに、次のように推論できます。

二等辺三角形の底辺の長さは次のとおりです。

#sqrt（8 ^ 2 + 1 ^ 2）= sqrt（65）#

面積は #64 = 1/2 "base" xx "height"#

三角形の高さは、

#64 /（1/2 sqrt（65））= 128 / sqrt（65）=（128sqrt（65））/ 65#

これは、底辺の中点を通る三角形の垂直二等分線の長さです。

それで、他の2つの辺は足を持つ2つの直角三角形の斜辺を形成します #sqrt（65）/ 2# そして #（128sqrt（65））/ 65#

それで、ピタゴラスによると、それらの各側面は長さがあります：

#sqrt（（sqrt（65）/ 2）^ 2 +（（128sqrt（65））/ 65）^ 2）= sqrt（65/4 + 65536/65）= sqrt（266369/260）#