Sqrt21は実数、有理数、整数、整数、無理数のどちらですか？

回答：

それは不合理な数であり、それゆえ本当です。

説明：

最初にそれを証明しましょう #sqrt（21）# 実際には、すべての正の実数の平方根は実数です。もし #バツ# 実数なので、正の数を定義します。 #sqrt（x）= "sup" {yinRR：y ^ 2 <= x}#。これは、すべての実数を見ることを意味します #y# そのような #y ^ 2 <= x# そしてこれらのすべてよりも大きい最小の実数をとる #y#の、いわゆる最高裁。負数の場合、これらは #y#すべての実数に対して、この数の二乗をとると正の数になり、すべての正の数は負の数よりも大きいので、は存在しません。

すべての正数に対して、常にいくつかあります。 #y# それは条件に合う #y ^ 2 <= x#すなわち #0#。さらに、これらの数には上限があります。 #x + 1#なぜなら #0 <= y <1#それから #x + 1> y#なら、 #y> = 1#それから #y <= y ^ 2 <= x#、 そう #x + 1> y#。以下の完全性のため、有界の空でない実数の集合ごとに、最高値として機能する一意の実数が常に存在することがわかります。 #RR#。だから、すべての正の実数に対して #バツ# 本物があります #sqrt（x）#。この場合、それを示すこともできます #sqrt（x）^ 2 = x#しかし、あなたが私に望んでいない限り、私はここでこれを証明しません。最後に注意します #sqrt（x）> = 0#以来、 #0# 前述のように、条件に適合する番号です。

今の不合理のために #sqrt（21）#。それが非合理的ではない（非常に合理的）ならば、 #sqrt（21）= a / b# と #a# そして #b# 整数と #a / b# できるだけ単純化された #a# そして #b# を除いて、約数はありません #1#。今これはそれを意味します #21 = a ^ 2 / b ^ 2#.

今、自然数の素因数分解と呼ばれるものを使います。これは、それぞれの正の整数を素数の固有の積として書き留めることができることを意味します。にとって #21# これは #3*7# そして #a# そして #b# これは素数の任意の積です #a = a_1 * … * a_n# そして #b = b_1 * … * b_m#。の唯一の共通の約数であるという事実 #a# そして #b# です #1# これは、 #a# そして #b# 素因数分解で素数を共有しないので、 #a_i# そして #b_j# そのような #a_i = b_j#。この意味は #a ^ 2# そして #b ^ 2# また、素数を共有しないでください。 #a ^ 2 = a_1 * a_1 * … * a_n * a_n# そして #b ^ 2 = b_1 * b_1 * … b_m * b_m#したがって、の唯一の一般的な約数 #a ^ 2# そして #b ^ 2# です #1#。から #a ^ 2 = 21b ^ 2#、 これの意味は #b ^ 2 = 1#、 そう #b = 1#。だから #sqrt（21）= a#。これは以下の仮定の下でのみ成り立つことに注意してください。 #sqrt（21）# 合理的です。

これで、もちろん、より小さな正の数すべてを実行できます。 #21# それらを二乗することが与えるかどうか確認 #21#しかし、これは退屈な方法です。もっとおもしろいやり方でそれをするために、我々は再び我々の素数に目を向ける。私達はことを知っています #a ^ 2 = a_1 * a_1 * … * a_n * a_n# そして #21=3*7#、 そう #3 * 7 = a_1 * a_1 * … * a_n * a_n#。左側では、すべての素数は1回しか発生しません。右側では、すべての素数は少なくとも2回発生し、常に偶数回発生します。 #a_1 = a_n# それは不安定のために少なくとも4回起こるでしょう）。しかし、すでに述べたように、これらの素因数分解は一意であるため、これは正しくありません。だから #21nea ^ 2#、 そう #anesqrt（21）#つまり、私たちの以前の仮定は #sqrt（21）# 合理的であることは間違っていることがわかります #sqrt（21）# 不合理です。

同じ議論が任意の正の整数に当てはまることに注意してください #バツ# 整数の2乗には常にすべての素因数が偶数回出現するため、素数の1つが不均一な回数出現する素因数分解を使用します。これから、我々は、 #バツ# 正の整数（#x inNN#）不定期にしか発生しない素因数 #sqrt（x）# 不合理になります。

この証明は少し長いように見えるかもしれませんが、数学から重要な概念を使用しています。おそらくどんな高校のカリキュラムにも、これらの種類の推論は含まれていません（私は100％確実ではない、私は世界の各高校のカリキュラムを知りません）が、ものを証明することはその一つです。彼らがする最も重要な活動。だから私はあなたに、どんな種類の数学が物事の平方根をとることの背後にあるのかを示したいと思いました。あなたがこれから奪う必要があるのは、確かにそれです #sqrt（21）# 無理数です。