3つの整数の二乗の合計は324です。どうやって整数を見つけますか？

回答：

明確な正の整数による唯一の解決策は、 #(2, 8, 16)#

解決策のフルセットは次のとおりです。

#{ (0, 0, +-18), (+-2, +-8, +-16), (+-8, +-8, +-14), (+-6, +-12, +-12) }#

説明：

正方形がどのような形をとるかを考えることによって、私たちはいくらかの努力を省くことができます。

もし #n# 奇数の整数 #n = 2k + 1# いくつかの整数 #k# そして：

#n ^ 2 =（2k + 1）^ 2 = 4（k ^ 2 + k）+ 1#

これは次の形式の奇数整数です。 #4p + 1#.

あなたが2つの奇数の整数の二乗を加えるならば、あなたは常に次の形式の整数を得るでしょう。 #4k + 2# いくつかの整数 #k#.

ご了承ください #324 = 4*81# 形式です #4k#ではない #4k + 2#.

したがって、3つの整数はすべて偶数でなければならないと推測できます。

整数には有限個の解があります。 #n ^ 2> = 0# 任意の整数 #n#.

負でない整数での解を考えてください。最後に負の整数を含む変形を追加することができます。

最大の整数が #n#そして：

#324/3 = 108 <= n ^ 2 <= 324 = 18 ^ 2#

そう：

#12 <= n <= 18#

その結果、他の2つの整数の平方和が得られます。

#324 - 18^2 = 0#

#324 - 16^2 = 68#

#324 - 14^2 = 128#

#324 - 12^2 = 180#

これらの各値について #k#最大の残りの整数が #m#。その後：

#k / 2 <= m ^ 2 <= k#

そして私達は要求します #k-m ^ 2# 完璧な広場になるために。

それ故に我々は解決策を見つける：

#(0, 0, 18)#

#(2, 8, 16)#

#(8, 8, 14)#

#(6, 12, 12)#

したがって、異なる正の整数を使用した唯一の解決策は #(2, 8, 16)#

#x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 2 ^ 2 3 ^ 4 = w ^ 2#

それを示すのは簡単です #x、y# そして #z# 作るからでも #x = 2m_x + 1、y = 2m_y + 1# そして #z = 2m_z# 我々は持っています

#4m_x ^ 2 + 4m_x + 4m_y ^ 2 + 4m_y + 4m_z ^ 2 + 2 = 4xx 3 ^ 4# または

#2m_x ^ 2 + 2m_x + 2m_y ^ 2 + 2m_y + 2m_z ^ 2 + 1 = 2 xx 3 ^ 4# それは不合理です。

だから我々はこれから検討します

#m_x ^ 2 + m_y ^ 2 + m_z ^ 2 = 3 ^ 4#

今アイデンティティを考える

#（（l ^ 2 + m ^ 2-n ^ 2）/ n）^ 2 +（2l）^ 2 +（2m）^ 2 =（（l ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2）/ n） ^ 2#

と #l、m、n# 任意の正の整数とする

#{（m_x =（l ^ 2 + m ^ 2-n ^ 2）/ n）、（m_y = 2l）、（m_z = 2m）、（m_w =（l ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2） / n）：}# ------ 1

我々は持っています

#l ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2 = 3 ^ 2 n# またはのために解く #n#

#n = 1/2（9pm2（9 ^ 2-4（1 ^ 2 + m ^ 2）））#

実現可能性のために必要なのは

#9 ^ 2-4（l ^ 2 + m ^ 2）= p ^ 2# または

#9 ^ 2-p ^ 2 = 4（l ^ 2 + m ^ 2）= q#

そう #p = {1,2,3,4,5,6,7,8}# 我々は持っています

#q = {80,77,72,65,56,45,32,17}# 実現可能なので #q# あります

#q_f = {80,72,56,32}# なぜなら #q equiv 0 mod 4#

だから我々は見つける必要があります

#4（l_i ^ 2 + m_i ^ 2）= q_i# または

#l_i ^ 2 + m_i ^ 2 = 1/4 q_i = bar q_i = {20,18,14,8}#

ここで簡単に確認できるように、唯一の解決策は

#l_1 = 2、m_1 = 4# なぜなら

#l_1 ^ 2 + m_1 ^ 2 =小節q_1#

そしてその結果 #n_1 = {4,5}#

1に代入すると

#n_1 = 4 rArr {（m_x = 1）、（m_y = 4）、（m_z = 8）：}#

#n_1 = 5 rArr {（m_x = -1）、（m_y = 4）、（m_z = 8）：}#

解決策を与える

#{（x = 2m_x = 2）、（y = 2m_y = 8）、（z = 2m_z = 16）：}#