回答：
積分を取る #int_1 ^ ooxe ^ -xdx#これは有限であり、それは限界があることに注意してください #sum_（n = 2）^ oo n e ^（ - n）#。従ってそれは収束的です #sum_（n = 1）^ oo n e ^（ - n）# もです。
説明：
積分テストの正式な声明では、 #fin 0、oo）rightarrowRR# 負ではない単調減少関数。それから合計 #sum_（n = 0）^ oof（n）# 以下の場合に限り収束します。 # "sup" _（N> 0）int_0 ^ Nf（x）dx# 有限です。 （Tau、Terence。Analysis I、第2版。Hindustanbook agency。2009）。
この文は少し技術的に思えるかもしれませんが、その考え方は次のとおりです。この場合、関数を取る #f（x）= xe ^（ - x）#ということに注意してください #x> 1#、この機能は減少しています。微分を取ることによってこれを見ることができます。 #f '（x）= e ^（ - x）-xe ^（ - x）=（1-x）e ^（ - x）<0#以来、 #x> 1#、 そう #（1-x）<0# そして #e ^（ - x）> 0#.
これのために、私達はあらゆるのためにそれに注意します #ninNN _（> = 2）# そして 1、oo）#の#x そのような #x <= n# 我々は持っています #f（x）> = f（n）#。だから #int_（n-1）^ nf（x）dx> = int_（n-1）^ nf（n）dx = f（n）#、 そう #sum_（n = 1）^ Nf（n）<= f（1）+ sum_（n = 2）^ Nint_（n-1）^ nf（x）dx = f（1）+ int_1 ^ Nf（x） dx#.
#int_1 ^ oof（x）dx = int_1 ^ ooxe ^（ - x）dx = -int_（x = 1）^ ooxde ^（ - x）= - xe ^（ - x）| _1 ^ oo + int_1 ^ ooe ^ （-x）dx##= - xe ^（ - x）-e ^（ - x）| ^ oo_1 = 2 / e# 部品による統合を使用して #lim_（xrightarrowoo）e ^ -x = lim_（xrightarrowoo）xe ^ -x = 0#.
以来 #f（x）> = 0#、 我々は持っています #e / 2 = int_1 ^ oof（x）dx> = int_1 ^ Nf（x）dx#、 そう #sum_（n = 1）^ Nf（n）<= f（1）+ 2 / e = 3 / e#。以来 #f（n）> = 0#シリーズ #sum_（n = 1）^ Nf（n）# 増加する #N# 増加します。それはによって制限されているので #3 / e#それは収束しなければならない。だから #sum_（n = 1）^ oof（n）# 収束します。
