378の約数を持つ最小の整数をNとする。 N = 2 ^ a x x 3 ^ b x x 5 ^ c x x 7 ^ dの場合、NNの{a、b、c、d}の値は何ですか？

回答：

#（ａ、ｂ、ｃ、ｄ） （６、５、２、２）#

#N = 2 ^ 6xx3 ^ 5xx5 ^ 2xx7 ^ 2 = 19,051,200#

説明：

与えられた数 #n# 素因数分解を使って #n = p_1 ^（alpha_1）p_2 ^（alpha_2）… p_k ^（alpha_k）#の各約数 #n# 形式です #p_1 ^（beta_1）p_2 ^（beta_2）… p_k ^（beta_k）# どこで #{0、1、…、alpha_i}の#beta_i#。あるので #alpha_i + 1# それぞれの選択肢 #beta_i#、の約数 #n# によって与えられます

#（alpha_1 + 1）（alpha_2 + 1）…（alpha_k + 1）= prod_（i = 1）^ k（alpha_i + 1）#

として #N = 2 ^ axx3 ^ bxx5 ^ cxx7 ^ d#、の約数 #N# によって与えられます #（a + 1）（b + 1）（c + 1）（d + 1）= 378#。したがって、私たちの目標は見つけることです #（あいうえお）# 上記の製品が成り立つように #2 ^ axx3 ^ bxx5 ^ cxx7 ^ d# 最小限です。最小化しているので、ここから先は次のように仮定します。 #a> = b> = c> = d# （そうでない場合は、同じ数の約数でより小さな結果が得られるように指数を交換することができます）。

それに注目する #378 = 2xx3 ^ 3xx7#、考えられるケース #378# 4つの整数の積として書かれる #k_1、k_2、k_3、k_4#。これらを調べて、どれがの結果が最も少ないかを確認できます。 #N#.

フォーマット： #（k_1、k_2、k_3、k_4）=>（a、b、c、d）=> 2 ^ axx3 ^ bxx5 ^ cxx7 ^ d#

#（2、3、3 ^ 2、7）=>（8、6、2、1）=>〜3.3xx10 ^ 7#

#（2、3、3、3 * 7）=>（20、2、2、1）=>〜1.7xx10 ^ 9#

#色（赤）（（3、3、2 * 3、7）=>（6、5、2、2）=>〜1.9xx10 ^ 7）#

#（3、3、3、2 * 7）=>（13、2、2、2）=>〜9.0xx10 ^ 7#

#（1、3、2 * 3 ^ 2、7）=>（17、6、2、0）=>〜2.4xx10 ^ 9#

他のケースではいくつかのケースがあるので、ここで止めることができます。 #k_i> = 27#、与える #2 ^ a> = 2 ^ 26 ~~ 6.7xx10 ^ 7#これはすでに我々の最善のケースよりも大きい。

上記の作業によって、 #（あいうえお）# これは最小限の #N# と #378# 除数は #（ａ、ｂ、ｃ、ｄ） （６、５、２、２）#、与える #N = 2 ^ 6xx3 ^ 5xx5 ^ 2xx7 ^ 2 = 19,051,200#