回答：
#{（2 + 2i）^ 5（-sqrt {3} + i）^ 3} /（sqrt {3} + i）^ 10#
#=（sqrt {3} -1）/ 2 +（sqrt {3} +1）/ 2 i#
説明：
この質問に対する別の答えでは、この質問にタイプミスがあり、 #-3# あるはずだった #-sqrt {3}#。私はそれが事実ではないこと、コメントが書かれているように正しいことをコメントで確信しています。
私たちが決めた方法を繰り返さない
#2+ 2i = 2平方{2} text {cis} 45 ^ circ#
#sqrt {3} + i = 2 text {cis} 30 ^ circ#
しかし今、私たちは変換する必要があります #-3 + i# 三角法の形に。それは可能ですが、それはTrigの推奨する三角形の1つではないので、もう少し面倒です。
#| -3 + i | = sqrt {3 ^ 2 + 1 ^ 2} = sqrt {10}#
私たちは2番目の象限にいて、逆正接の主値は4番目の象限です。
# angle（-3 + i）= text {Arc} text {tan}（1 / { - 3}）+ 180 ^ circ#
#-3 + i = sqrt {10} text {cis}（テキスト{Arc}テキスト{tan}（1 / { - 3}）+ 180 ^ circ）#
De Moivreはこのようなフォームではあまりうまくいきません。
#（-3 + i）^ 3 = sqrt {10 ^ 3} text {cis}（3（テキスト{Arc}テキスト{tan}（1 / { - 3}）+ 180 ^ circ））#
しかし、私たちは立ち往生していません。指数は #3# これはトリプルアングルの公式でできます。見つけた一定の角度を呼びましょう。
#θ=角度（-3 + i）#
De Moivre著、
#（-3 + i）^ 3 =（ sqrt {10} テキスト{cis}θ）^ 3 = 10sqrt {10}（ cos（3θ）+ i sin（3θ））#
知っている
# cos theta = -3 / sqrt {10}、quad sin theta = 1 / sqrt {10}#
#cos（3θ）= 4cos ^3θ - 3cosθ= 4（-3 / sqrt {10}）^ 3 - 3（ - 3 / sqrt {10}）= - （9 sqrt（10））/ 50#
#sin（3 theta）= 3 sin theta - 4 sin ^ 3 theta = 3（1 / sqrt {10}） - 4（1 / sqrt {10}）^ 3 =（13 sqrt（10））/ 50#
#（-3 + i）^ 3 = 10sqrt {10}（sqrt {10} / 50）（-9 + 13 i）= -18 + 26 i#
それは単なる立方体化よりもはるかに多くの作業のようです。 #（ - 3 + i）：#
#（-3 + i）（ - 3 + i）（ - 3 + i）=（ - 3 + i）（8 -6i）= -18 + 26 i quad sqrt#
それでは、問題をやりましょう。
#{（2 + 2i）^ 5（-3 + i）^ 3} / {（sqrt {3} + i）^ {10}}#
#= {（2平方{2} テキスト{シス} 45 ^円）^ 5（-3 + i）^ 3} / {（2 テキスト{シス} 30 ^円）^ {10} #
#=（{2 ^ 5平方{2 ^ 5}} / 2 ^ 10）{ text {cis}（5 cdot 45 ^ circ）} / { text {cis}（10 cdot 30 ^ circ）}（ - 3 + i）^ 3#
#=（sqrt {2} / 8）{ text {cis}（225 ^ circ）} / { text {cis}（300 ^ circ）}（-3 + i）^ 3#
#=（sqrt {2} / 8） text {cis}（225 ^ circ - 300）（-3 + i）^ 3#
#=（sqrt {2} / 8）（-18 +26 i） text {cis}（ - 75 ^ circ）#
うーん、それは決して終わらない。我々が得る
#cos（-75 ^ circ）= cos 75 ^ circ = cos（45 ^ circ + 30 ^ circ）= sqrt {2} / 2（sqrt {3} / 2 - 1/2）= 1/4（sqrt） {6} -sqrt {2}）#
#sin（-75 ^ circ）= - （sin 45 cos 30 + cos 45 sin 30）= - sqrt {2} / 2（ sqrt {3} / 2 + 1/2）= - 1/4（ sqrt） {6} +平方根{2}）#
#{（2 + 2i）^ 5（-3 + i）^ 3} / {（sqrt {3} + i）^ {10}}#
#=（sqrt {2} / 8）（ - 18 + 26 i）1/4（（sqrt {6} - sqrt {2}） - （sqrt {6} + sqrt {2}）i）#
#= {11 + 2 sqrt（3）} / 4 +（11 sqrt（3） - 2）/ 4 i#
