A_nがA.P.のn番目の項を表し、pとqがpを持つ2つの正の整数であるとする。

回答：

# 0.#

#a_n# を示します #n ^（th）# の期間 A.P.

しましょう、 #d# である公差の A.P.、 そして、させて #S_n#

である和その最初の #n# 条項。

そして、私たちはそれを知っています、

#ａ＿ｎａ＿１（ｎ１）ｄ、そして、Ｓ＿ｎｎ／２｛２ａ＿１（ｎ１）ｄ｝……（ａｓｔ）。

私たちです 与えられた それのために NNの#p、q。 pltq、#

#a_（p + 1）+ a_（p + 2）+ a_（p + 3）+ … + a_q = 0 …………（スター）#

追加中 #{a_1 + a_2 + … + a_p}# に両側この式のうち、

#{a_1 + a_2 + … + a_p} + {a_（p + 1）+ a_（p + 2）+ a_（p + 3）+ … + a_q}、#

# ｛ａ＿１ａ＿２ … ａ＿ｐ｝｛０｝………［（スター）］、すなわち#

#S_q = S_p

#q / cancel2 2a_1 +（q-1）d = p / cancel2 2a_1 +（p-1）d …… （、ast）だから。

#： 2qa_1 + q（q-1）d - {2pa_1 + p（p-1）d} = 0#

#： 2a_1（q-p）+ d {q ^ 2-q-（p ^ 2-p）} = 0#

#： 2a_1（q-p）+ d {q ^ 2-p ^ 2-q + p} = 0#

#： 2a_1（q-p）+ d {（q-p）（q + p）-1（q-p）} = 0#

#：（q-p）2a_1 + d（q + p-1） = 0#

#：ｑｐ、「これは「ｑｌｔｐ」（所与）としては不可能である；または、「［２ａ＿１ｄ（ｑｐ１）］０」。

#： 2a_1 + d（q + p-1） = 0#

#rArr S_（p + q）=（p + q）/ 2 2a_1 + d（q + p-1） = 0#

数学をお楽しみください。