回答：
ベクトルなら #v# ベクトル空間の線形および線形変換 #A# そのようなものです #A（v）= k * v# （ここで定数 #k# と呼ばれる 固有値), #v# と呼ばれる 固有ベクトル 線形変換の #A#.
説明：
線形変換を想像してみてください #A# すべてのベクトルを係数 #2# 三次元空間で。任意のベクトル #v# に変換されます #2v#。したがって、この変換ではすべてのベクトルは 固有ベクトル と 固有値 の #2#.
Z軸を中心とした角度による3次元空間の回転を考えます。 #90 ^ o#。明らかに、Z軸に沿っているもの以外のすべてのベクトルは方向を変えるでしょう、そして、それ故に、 固有ベクトル 。しかし、Z軸に沿ったそれらのベクトル（それらの座標は、 #0,0、z#）それらの方向と長さを保持します。 固有ベクトル と 固有値 の #1#.
最後に、による回転を考えます。 #180 ^ o# Z軸周りの3次元空間で。前と同様に、Z軸の長いベクトルはすべて変更されないため、変更されません。 固有ベクトル と 固有値 の #1#.
さらに、XY平面内のすべてのベクトル（それらの座標は次の形式になります） #x、y、0#）は長さを保ったまま反対方向に向きを変えます。したがって、彼らも 固有ベクトル と 固有値 の #-1#.
ベクトル空間の線形変換は、ベクトルと行列の乗算として表すことができます。たとえば、ストレッチの最初の例は、行列による乗算として記述されています。 #A#
| 2 | 0 | 0 |
| 0 | 2 | 0 |
| 0 | 0 | 2 |
そのような行列に任意のベクトルを掛けたもの #v = {x、y、z}# 作り出す #A * v = {2x、2y、2z}#
これは明らかに等しい #2 * v#。だから、私たちは持っています
#A * v = 2 * v#, これはそのベクトルを証明する #v# です 固有ベクトル と 固有値 #2#.
2番目の例（回転による #90 ^ o# Z軸周り）は、行列による乗算として記述できます。 #A#
| 0 | -1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
そのような行列に任意のベクトルを掛けたもの #v = {x、y、z}# 作り出す #A * v = { - y、x、z}#, 元のベクトルと同じ方向を持つことができます #v = {x、y、z}# 場合に限り #x = y = 0#つまり、元のベクトルがZ軸に沿っている場合です。
