機能について #f（x）= x ^ n#、nべき ではない 明確になる理由から、0に等しい。 ｎも整数または有理数（すなわち分数）であるべきである。
規則は以下のとおりです。
#f（x）= x ^ n => f '（x）= nx ^（n-1）#
言い換えれば、xのべき乗を「借り」、それを導関数の係数にしてから、そのべき乗から1を引きます。
#f（x）= x ^ 2 => f '（x）= 2x ^ 1#
#f（x）= x ^ 7 => f '（x）= 7x ^ 6#
#f（x）= x ^（1/2）=> f '（x）= 1/2 * x ^（ - 1/2）#
私が述べたように、特別な場合はn = 0の場合です。この意味は
#f（x）= x ^ 0 = 1#
私達は私達の規則を使うことができます 技術的に 正しい答えを得る：
#f '（x）= 0x ^ -1 = 0#
しかし、後でこの規則の逆を使用しようとすると、複雑になります。
回答：
#y ^ '= nx ^（n-1）#
以下はすべての数に対する証明ですが、すべての整数に対する証明だけが導関数の定義の基本的なスキルセットを使用します。すべての有理数の証明は連鎖則を使用し、無理数の証明は暗黙的な微分を使用します。
説明：
とは言っても、ここでそれらすべてを紹介しますので、プロセスを理解することができます。それに注意してください #意志# かなり長くなります。
から #y = x ^（n）#なら、 #n = 0# 我々は持っています #y = 1# 定数の導関数は常にゼロです。
もし #n# 微分式にそれを投入して、混乱を解くために二項定理を使用することができるその他の正の整数です。
#y = lim_（h rarr 0）（（x + h）^ n - x ^ n）/ h#
#y = lim_（h rarr 0）（x ^ n + Sigma_（i = 1）^ n（K_i * x ^（n-i）h ^ i） - x ^ n）/ h#
どこで #K_i# 適切な定数です
#y = lim_（h rarr 0）Sigma_（i = 1）^ n（K_i * x ^（n-i）h ^ i）/ h#
それを分割する #h#
#y = lim_（h rarr 0）Sigma_（i = 1）^ nK_i * x ^（n-i）h ^（i-1）#
和から最初の項を取り出すことができます
#y = lim_（h rarr 0）K_1 * x ^（n-1）+ Sigma_（i = 2）^ nK_ix ^（n-i）h ^（i-1）#
限界を取ると、まだ合計にある他のすべてのものはゼロになります。計算する #K_1# それが等しいことがわかります #n#、 そう
#y = K_1 * x ^（n-1）= nx ^（n-1）#
にとって #n# それは負の整数です、それはもう少し複雑です。知っています #x ^ -n = 1 / x ^ b#、 そのような #b = -n# それゆえにポジティブです。
#y = lim_（h rarr 0）1 / h（1 /（x + h）^ b - 1 / x ^ b）#
#y = lim_（h rarr 0）1 / h（（x ^ b - （x + h）^ b）/（x ^ b（x + h）^ b））#
#y = lim_（h rarr 0）1 / h（（x ^ b - x ^ b - Sigma_（i = 1）^ bK_ix ^（bi）h ^ i）/（x ^ b（x + h）^ b ））#
#y = lim_（h rarr 0）（（ - Sigma_（i = 1）^ bK_ix ^（b-i）h ^（i-1））/（x ^ b（x + h）^ b））#
最初の学期を
#y = lim_（h rarr 0）（（ - - K_1x ^（b-1） - Sigma_（i = 2）^ bK_ix ^（bi）h ^（i-1））/（x ^ b（x + h） ^ b））#
限界を、どこで #K_1 = b#に代入する #n#
#y = -K_1x ^（b-1）/（x ^ b * x ^ b）= -K_1x ^（b-1-2b）= -K_1x ^（ - b-1）= nx ^（n-1） #
合理的には、連鎖ルールを使う必要があります。イー。 #f（g（x）） ^ '= f ^'（g（x））g ^ '（x）#
だから、それを知って #x ^（1 / n）= root（n）（x）# と仮定 #n = 1 / b# 我々は持っています
#（x ^ n）^ b = x#
もし #b# 偶数で、答えは技術的です #| x |# しかしこれは我々の目的には十分近い
だから、私たちが持っているチェーンルールを使用して
#x ^ n ^ '= 1 /（bx ^（nb-n））= 1 /（bx ^（1-n））= nx ^（n - 1）#
そして最後に重要なことを言い忘れましたが、暗黙的な微分を使って、不合理を含むすべての実数を証明することができます。
#y = x ^ n#
#ln（y）= n * ln（x）#
#y ^ '/ y = n / x#
#y ^ '=（nx ^ n）/ x = nx ^（n-1）#
