それを証明する:tan ^ 5x =((1 /(1-sinx)^ 2) - (1 /(1 + sinx)^ 2))/((1 /(1-cosx)^ 2) - (1 /( 1 + cosx)^ 2)

それを証明する:tan ^ 5x =((1 /(1-sinx)^ 2) - (1 /(1 + sinx)^ 2))/((1 /(1-cosx)^ 2) - (1 /( 1 + cosx)^ 2)
Anonim

証明する

#tg ^ 5x =((1 /(1-sinx)^ 2) - (1 /(1 + sinx)^ 2))/((1 /(1-cosx)^ 2) - (1 /(1+) cosx)^ 2)#

RHS

#=((1 /(1-sinx)^ 2) - (1 /(1 + sinx)^ 2))/((1 /(1-cosx)^ 2) - (1 /(1 + cosx)^) 2)#

#=((((1 + sinx)^ 2-(1-sinx)^ 2)/(1-sin ^ 2x)^ 2)/((((1 + cosx ^ 2) - (1-cosx)^ 2)) /(1-cos ^ 2x)^ 2)#

#=(((4sinx)/ cos ^ 4x)/((4cosx)/(sin ^ 4x))#

#= sin ^ 5x / cos ^ 5x = tan ^ 5x = LHS#

証明済み

これはそれらの証明のうちの1つで、右から左に向かって作業するのがより簡単です。皮切りに:

#((1 /(1-sinx)^ 2) - (1 /(1 + sinx)^ 2))/((1 /(1-cosx)^ 2) - (1 /(1 + cosx)^ 2) )#

埋め込まれた分数の分子と分母に "共役"を掛けます(例: #1pmsinx##1 sinx#)あなたはそれを得ます、例えば #(1 + sinx)(1-sinx)= 1-sin ^ 2x#.

#=((((1 + sinx)/((1-sin ^ 2x)(1-sinx)))) - ((1-sin ^ 2x)/((1-sin ^ 2x)(1 + sinx))))/ ((((1 + cosx)/((1-cos ^ 2x)(1-cosx)))) - ((1-cos ^ 2)/((1-cos ^ 2x)(1 + cosx)))#

前のステップを繰り返して、埋め込まれた分数の分母をさらに単純化します。

#=(((1 + sinx)^ 2 /((1-sin ^ 2x)^ 2)) - ((1-sin ^ 2x)^ 2 /((1-sin ^ 2x)^ 2)))/(( (1 + cosx)^ 2 /((1-cos ^ 2x)^ 2)) - ((1-cos ^)^ 2 /((1-cos ^ 2x)^ 2))#

アイデンティティを使う #1-sin ^ 2x = cos ^ 2x# そして #1-cos ^ 2x = sin ^ 2x# 取得するため:

#=((((1 + sinx)^ 2 /(cos ^ 4x)) - ((1-sinx)^ 2 /(cos ^ 4x)))/((((1 + cosx)^ 2 /(sin ^ 4x)) )) - ((1-cosx)^ 2 /(sin ^ 4x))#

分数を組み合わせて、逆数を乗算するために反転します。

#=((((1 + sinx)^ 2-(1-sinx)^ 2)/(cos ^ 4x))/((((1 + cosx)^ 2-(1-cosx)^ 2)/(sin ^) 4x))#

#=((1 + sinx)^ 2-(1-sinx)^ 2)/(cos ^ 4x)*(sin ^ 4x)/((1 + cosx)^ 2-(1-cosx)^ 2)#

2乗項を展開します。

#=(cancel(1)+ 2sinx + cancel(sin ^ 2x) - (cancel(1)-2sinx + cancel(sin ^ 2x)))/(cos ^ 4x)*(sin ^ 4x)/(cancel(1) )+ 2cosx + cancel(cos ^ 2x) - (cancel(1)-2 cosx + cancel(cos ^ 2x)))#

#=(キャンセル(4)sinx)/(cos ^ 4x)*(sin ^ 4x)/(キャンセル(4)cosx)#

#=色(青)(tan ^ 5x)#