収束の定義を使用して、シーケンス{2 ^ -n}がn = 1から無限大に収束することをどのように証明しますか？

回答：

指数関数のプロパティを使用して、次のようにNを決定します。 #| 2 ^（ - n）-2 ^（ - m）| <epsilon# すべてのための #m、n> N#

説明：

収束の定義は、 #{a_n}# 以下の場合に収束します。

#AAε> 0 "" EE N：AA m、n> N "" | a_n-a_m | <epsilon#

だから、与えられた #epsilon> 0# 取る #N> log_2（1 /イプシロン）# そして #m、n> N# と #m <n#

として #m <n#, #（2 ^（ - m） - 2 ^（ - n））> 0# そう #| 2 ^（ - m） - 2 ^（ - n）| = 2 ^（ - m） - 2 ^（ - n）#

#2 ^（ - m） - 2 ^（ - n）= 2 ^（ - m）（1 - 2 ^（m-n））#

今は #2 ^ x# 常にポジティブです #（1- 2 ^（m-n））<1#、 そう

#2 ^（ - m） - 2 ^（ - n）<2 ^（ - m）#

そして #2 ^（ - x）# 厳密に減少している #m> N> log_2（1 /イプシロン）#

#2 ^（ - m） - 2 ^（ - n）<2 ^（ - m）<2 ^（ - N）<2 ^（ - log_2（1 /ε）#

しかし：

#2 ^（ - log_2（1 /ε））= 2 ^（log_2（ε））=ε#

そう：

#| 2 ^（ - m） - 2 ^（ - n）| <epsilon#

Q.E.D.