回答:
の最小値を求める #4 cos theta + 3 sin theta。 #
線形結合は、位相シフトされスケールされた正弦波です。スケールは、極形式の係数の大きさによって決まります。 # sqrt {3 ^ 2 + 4 ^ 2} = 5、# だから最小の #-5#.
説明:
の最小値を求める #4 cos theta + 3 sin theta#
同じ角度のサインとコサインの線形結合は位相シフトとスケーリングです。私たちはピタゴラスのトリプルを認識する #3^2+4^2=5^2.#
みましょう #ファイ# そのような角度である #cos phi = 4/5# そして #sin phi = 3/5#。角度 #ファイ# の主な値です #arctan(3/4)# しかし、それは本当に私たちには関係ありません。私たちにとって重要なのは、定数を書き換えることができるということです。 #4 = 5 cos phi# そして #3 = 5 sin phi#。そう
#4 cos theta + 3 sin theta#
#= 5(cosφcosθ+sinφsinθ)#
#= 5 cos(シータ - ファイ)#
だから最小の #-5#.
回答:
#-5# 必要な最小値です。
説明:
方程式を割ります #3sinx + 4cosx# によって #sqrt(a ^ 2 + b ^ 2)# それを形にする #sin(x + -alpha)またはcos(x + -alpha)# どこで #a# そして #b#
の係数は #sinx# そして #cosx# それぞれ。
#rarr3sinx + 4cosx#
#= 5 sinx *(3/5)+ cosx *(4/5)#
みましょう #cosalpha = 3/5# それから #sinalpha = 4/5#
今、 #3sinx + 4cosx#
#= 5 sinx * cosalpha + cosx * sinalpha#
#= 5sin(x + alpha)= 5sin(x + alpha)#
の価値 #5シン(x +アルファ)# とき最小になります #sin(x + alpha#)が最小で、の最小値 #sin(x + alpha)# です #-1#.
だから、の最小値 #5 sin(x + alpha)= - 5#