暗黙のうちにy ^ 2 / x = x ^ 3 - 3yx ^ 2をどのように区別しますか？

回答：

積と商の規則を使用して、取得するために面倒な代数をたくさん実行します。 #dy / dx =（3x ^ 4 + 2x ^ 3y + y ^ 2）/（2xy + x ^ 4）#.

説明：

左側から始めます。

#y ^ 2 / x#

これを微分するには、商法を使う必要があります。

#d / dx（u / v）=（u'v-uv '）/ v ^ 2#

我々は持っています #u = y ^ 2-> u '= 2ydy / dx# そして #v = x-> v '= 1#、 そう：

#d / dx（y ^ 2 / x）=（（2ydy / dx）（x） - （y ^ 2）（1））/（x）^ 2#

# - > d / dx（y ^ 2 / x）=（2xydy / dx-y ^ 2）/ x ^ 2#

今すぐ右側に：

#x ^ 3-3yx ^ 2#

これを分解するには、合計規則と定数規則の乗算を使用できます。

#d / dx（x ^ 3）-3 d / dx（yx ^ 2）#

これらのうちの2番目は製品規則を必要とします：

#d / dx（uv）= u'v + uv '#

あり #u = y-> u '= dy / dx# そして #v = x ^ 2 - > v '= 2 x#。そう：

#d / dx（x ^ 3-3yx ^ 2）= 3x ^ 2 - （（dy / dx）（x ^ 2）+（y）（2x））#

# - > d / dx（x ^ 3-3yx ^ 2）= 3x ^ 2-x ^ 2dy / dx + 2xy#

私たちの問題は今読む：

#（2xydy / dx-y ^ 2）/ x ^ 2 = 3 x ^ 2-x ^ 2dy / dx + 2xy#

追加できます #x ^ 2dy / dx# 両側に #dy / dx# それを分離する：

#（2xydy / dx-y ^ 2）/ x ^ 2 = 3 x ^ 2-x ^ 2dy / dx + 2xy#

# - >（2xydy / dx）/ x ^ 2 + x ^ 2dy / dx-（y ^ 2）/ x ^ 2 = 3x ^ 2 + 2xy#

# - > dy / dx（（2xy）/ x ^ 2 + x ^ 2）= 3x ^ 2 + 2xy +（y ^ 2）/ x ^ 2#

# - > dy / dx =（3x ^ 2 + 2xy +（y ^ 2）/ x ^ 2）/（（2xy）/ x ^ 2 + x ^ 2）#

これが単純化される必要がある1つの厄介な方程式であるので、私はあなたが代数を好むことを望みます：

#dy / dx =（3x ^ 2 + 2xy +（y ^ 2）/ x ^ 2）/（（2xy）/ x ^ 2 + x ^ 2）#

# - > dy / dx =（（3x ^ 4）/ x ^ 2 +（2x ^ 3y）/ x ^ 2 +（y ^ 2）/ x ^ 2）/（（2xy）/ x ^ 2 + x ^ 4 / x ^ 2）#

# - > dy / dx =（（3x ^ 4 + 2x ^ 3y + y ^ 2）/ x ^ 2）/（（2xy + x ^ 4）/ x ^ 2）#

# - > dy / dx =（3x ^ 4 + 2x ^ 3y + y ^ 2）/ x ^ 2 * x ^ 2 /（2xy + x ^ 4）#

# - > dy / dx =（3x ^ 4 + 2x ^ 3y + y ^ 2）/（2xy + x ^ 4）#