回答：
センター： #(2,-1)#
頂点： #（2、1/2）および（2、-5 / 2）#
共頂点： #（1、-1）と（3、-1）#
焦点： #（2、（-2 + sqrt（5））/ 2）および（2、（ - 2-sqrt（5））/ 2）#
偏心： #sqrt（5）/ 3#
説明：
私たちが使いたいテクニックは、正方形を完成させることです。私達はそれを使用します #バツ# 最初に用語 #y#.
に並べ替え
#9x ^ 2 + 4y ^ 2 - 36x + 8y = -31#
に焦点を当てる #バツ#、で割る #x ^ 2# 係数を計算し、の係数の半分の2乗を追加します。 #x ^ 1# 両側への言葉：
#x ^ 2 + 4 / 9y ^ 2 - 4x + 8 / 9y +（ - 2）^ 2 = -31 / 9 +（-2）^ 2#
#（x-2）^ 2 + 4 / 9y ^ 2 + 8 / 9y = 5/9#
で割る #y ^ 2# 係数を計算し、の係数の半分の2乗を追加します。 #y ^ 1# 両側への言葉：
#9/4（x-2）^ 2 + y ^ 2 + 2y +（1）^ 2 = 5/4 +（1）^ 2#
#9/4（x-2）^ 2 +（y + 1）^ 2 = 9/4#
除算 #9/4# 単純化するために：
#（x-2）^ 2 + 4/9（y + 1）^ 2 = 1#
#（x-2）^ 2/1 +（（y + 1）^ 2）/（9/4）= 1#
一般式は
#（x-a）^ 2 / h ^ 2 +（y-b）^ 2 / k ^ 2 = 1#
どこで #（a、b）# 中心であり、 #h、k# 半短軸/長軸です。
中心からの読み取りは #(2, -1)#.
この場合、 #y# 方向よりも大きな値 #バツ#そのため、楕円は #y# 方向。 #k ^ 2> h ^ 2#
頂点は中心から長軸を上に移動することによって得られます。すなわち #+ - sqrt（k）# 中心のy座標に追加されます。
これは与える #（2、1/2）と（2、-5 / 2）#.
共頂点は、短軸上にあります。我々が追加します #+ - sqrt（h）# これらを見つけるには、センターのx座標を使用します。
#（1、-1）と（3、-1）#
今、焦点を見つけるために：
#c ^ 2 = k ^ 2 - h ^ 2#
#c ^ 2 = 9/4 - 1#
#c ^ 2 = 5/4はc = + -sqrt（5）/ 2を意味します
焦点は線に沿って配置されます #x = 2# で #+ - sqrt（5）/ 2# から #y = -1#.
#だから# 焦点 #（2、（-2 + sqrt（5））/ 2）および（2、（ - 2-sqrt（5））/ 2）#
最後に、偏心度は
#e = sqrt（1-h ^ 2 / k ^ 2）#
#e = sqrt（1-1 /（9/4））= sqrt（1-4 / 9）= sqrt（5）/ 3#
