（sqrt3 -i）の立方根は何ですか？

数字を三角法に変換することから始めます。

#z = sqrt（3）-i = 2 cos（-pi / 6）+ isin（-pi / 6）#

この数の3乗根は次のように書くことができます。

#z ^（1/3）#

これを念頭に置いて、三角関数形式で複素数のn乗の公式を使います。

#z ^ n = r ^ n cos（ntheta）+ isin（ntheta）# 与える：

#z ^（1/3）= 2 ^（1/3）cos（-pi / 6 * 1/3）+ isin（-pi / 6 * 1/3） =#

#= 2 ^（1/3）cos（-pi / 18）+ isin（-pi / 18）#

長方形はどれですか： #4.2-0.7i#

Gióの答えには完全に賛成できません。それは不完全であり、そして（正式には）間違っているからです。

形式エラーはの使用法にあります ド・モイヴルの式 整数でない指数を持つDe Moivreの式は整数の指数にのみ適用できます。これに関する詳細はWikipediaのページで

そこに対処するために、式の部分的な拡張を見つけるでしょう #n#番目の根（それは追加のパラメータを含みます #k#）： #z = r（cos theta + i sin theta）#それから

#z ^ {1 / n} = r ^ {1 / n}（cos（（θ+ 2 k pi）/ n）+ i sin（（θ+ 2 k pi）/ n））# どこで #k = 0、…、n-1#.

一つ（そしてある意味では の ）複素数の非常に基本的な性質は #n#根があります… #n# 根（解決策）！パラメータ #k# （それは異なります #0# そして #n-1#、 そう #n# values）を使って、それらを単一の式にまとめることができます。

そのため、キューブルートには3つの解決策があり、そのうちの1つを見つけるだけでは十分ではありません。#1/3# ソリューションの "#：。

私は解決案を以下に書きます。コメントは大歓迎です。

Gióが正しく示唆しているように、最初のステップは次のように表現することです。 #z = sqrt {3} -i# 三角関数形式で #r（cos theta + i sin theta）#。根を扱うとき、三角法の形式は（ほとんど）常に（指数関数とともに）便利なツールです。あなたが得る：

#r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} = sqrt {（sqrt {3}）^ 2 +（ - 1）^ 2} = sqrt {3 + 1} = sqrt {4} = 2#

#theta = arctan（y / x）= arctan（ - 1 / sqrt {3}）= - pi / 6#

そう #z = r（cosθ+ isinθ）= 2（cos（-pi / 6）+ i sin（-pi / 6））#

今度は根を計算したいと思う。上記の式から、次のようになります。

#z ^ {1/3} = r ^ {1/3}（cos（（theta + 2 k pi）/ 3）+ i sin（（theta + 2 k pi）/ 3））= 2 ^ {1 / 3}（cos（（ - π/ 6 + 2 k pi）/ 3）+ i sin（（ - π/ 6 + 2 k pi）/ 3））#

どこで #k = 0、1、2#。だからの3つの異なる値があります #k# (#0#, #1# そして #2#それは3つの異なる複雑な根を生む #z#:

#z_0 = 2 ^ {1/3}（cos（（-pi / 6 + 0）/ 3）+ i sin（（-pi / 6 + 0）/ 3））= 2 ^ {1/3}（cos （-pi / 18）+ i sin（-pi / 18））#

#z_1 = 2 ^ {1/3}（cos（（-pi / 6 + 2 pi）/ 3）+ i sin（（-pi / 6 + 2 pi）/ 3））= 2 ^ {1/3} （cos（-11/18 pi）+ i sin（-11/18 pi））#

#z_2 = 2 ^ {1/3}（cos（（-pi / 6 + 4 pi）/ 3）+ i sin（（-pi / 6 + 4 pi）/ 3））= 2 ^ {1/3} （cos（-23/18 pi）+ i sin（-23/18 pi））#

#z_0#, #z_1# そして #z_2# 3つの解決策です。

の公式の幾何学的解釈 #n# 根は複素平面に解を描くのに非常に便利です。プロットはまた公式の特性を非常にうまく指摘している。

まず第一に、私たちはすべての解が同じ距離を持つことに気付くことができます #r ^ {1 / n}# （この例では #2^{1/3}#起源から）。それで、それらはすべて半径の円周上にあります #r ^ {1 / n}#。今指摘しなければならない どこで この円周上にそれらを配置します。サインとコサインの引数は次のように書き直すことができます。

#z ^ {1 / n} = r ^ {1 / n}（cos（θ/ n +（2π）/ n k）+ i sin（θ/ n +（2π）/ n k））#

"最初の"ルートは #k = 0#:

#z_0 = r ^ {1 / n}（cos（theta / n）+ i sin（theta / n））#

他のすべての根は角度を加えることによってこれから得られます #（2π）/ n# 角度に再帰的に #シータ/ n# 最初のルートからの相対 #z_0#。だから私たちは動いています #z_0# 円周上での回転 #（2π）/ n# ラジアン（#（360°）/ n#）それで、点は正則の頂点に位置します。 #n# - ゴン。そのうちの1つを考えれば、他のものを見つけることができます。

私たちの場合には：

青い角は #theta / n = -pi / 18# そしてマゼンタのものは #（2pi）/ n = 2/3 pi#.