F（x、y）= 2x ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2の極値点と鞍点は何ですか？

回答：

#{：（ "臨界点"、 "結論"）、（（0,0）、 "分"）、（（-1、-2）、 "サドル"）、（（-1,2）、 "サドル"）、（（ - 5 / 3,0）、"最大 "）：}#

説明：

の極値を識別する理論 #z = f（x、y）# です：

1. 臨界方程式を同時に解く

   #（部分f）/（部分x）=（部分f）/（部分y）= 0 # （すなわち #z_x = z_y = 0#)

2. 評価する #f_（x x）、f_（yy）、f_（xy）（= f_（yx））# これらの各重要ポイントで。したがって評価する #デルタ= f_（x x）f_（yy）-f_（xy）^ 2# これらの各点で
3. 極値の性質を決定します。

   #{：（Delta> 0、 "f_（xx）<0）の場合は最小値、（、" f_（yy）> 0の場合は最大値）、（Delta <0、 "サドルポイントがある場合"） ）、（Delta = 0、 "さらなる分析が必要です"）：}#

だから我々は持っています：

#f（x、y）= 2 x ^ 3 + x y ^ 2 + 5 x ^ 2 + y ^ 2#

最初の偏導関数を見つけましょう。

#（部分f）/（部分x）= 6x ^ 2 + y ^ 2 + 10x#

#（部分f）/（部分y）= 2xy + 2y#

だから私たちの批判的な方程式は、

#6x ^ 2 + y ^ 2 + 10x = 0#

#2xy + 2y = 0#

2番目の方程式から、

#2y（x + 1）= 0 => x = -1、y = 0#

潜水艦 #x = -1# 最初の方程式に入ると、次のようになります。

#6 + y ^ 2-10 = 0 => y ^ 2 = 4 => y = + - 2#

潜水艦 #y = 0# 最初の方程式に入ると、次のようになります。

#6x ^ 2 + 0 ^ 2 + 10x = 0 => 2x（3x + 5）= 0 => x = -5 / 3,0#

そして私たちは 四 座標付きの臨界点

# (-1,-2), (-1,2), (0,0), (-5/3,0) #

それでは、ここで2番目の偏導関数を見て、臨界点の性質を判断できるようにしましょう。

# （部分^ 2f）/（部分x ^ 2）= 12x + 10#

# （部分^ 2f）/（部分y ^ 2）= 2x + 2#

#（部分^ 2f）/（部分x部分y）= 2y （=（部分^ 2f）/（部分y部分x））#

そして私達は計算しなければなりません：

#Delta =（部分^ 2f）/（部分x ^ 2）（部分^ 2f）/（部分y ^ 2） - （（部分^ 2f）/（部分x部分y））^ 2#

各臨界点で。 2番目の偏導関数値 #デルタ#と結論は次のとおりです。

#{：（ "臨界点"、（部分^ 2f）/（部分x ^ 2）、（部分^ 2f）/（部分y ^ 2）、（部分^ 2f）/（部分x部分y）、Delta、 "結論"）、（（（0,0）、10,2,0、> 0、f_（xx）> 0 => "min"）、（（-1、-2）、 - 2,0,4、 lt 0、 "サドル"）、（（-1,2）、 - 2,0,4、lt 0、 "サドル"）、（（-5 / 3,0）、 - 10、-4 / 3,0 、gt 0、f_（xx）<0 => "max"）：}#

3Dプロットを見ると、これらの重要な点がわかります。