式ｂｘ ２－（ａ － ３ｂ）ｘ ｂ ０は１つの実根を有することが知られている。方程式x ^ 2 +（a-b）x +（ab-b ^ 2 + 1）= 0に実根がないことを証明します。

回答：

下記参照。

説明：

のルーツ #bx ^ 2-（a-3b）x + b = 0# あります

#x =（a - 3 b pmsqrt a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2）/（2 b）#

根は一致して本物になるでしょう

#a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2 =（a - 5 b）（a - b）= 0#

または

#a = b# または #a = 5b#

今解決している

#x ^ 2 +（a-b）x +（ab-b ^ 2 + 1）= 0# 我々は持っています

#x = 1/2（ - a + b pm sqrt a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4）#

複雑な根の条件は

#a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4 lt 0#

今作っている #a = b# または #a = 5b# 我々は持っています

#a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4 = -4 <0#

次の場合 #bx ^ 2-（a-3b）x + b = 0# 実在するルーツと一致する #x ^ 2 +（a-b）x +（ab-b ^ 2 + 1）= 0# 複雑なルーツがあります。

次の式が与えられます。

#bx ^ 2-（a-3b）x + b = 0#

実根が1つあるため、この方程式の判別式は0になります。

#デルタ= 0#

#=>（ - （a-3b））^ 2 - 4（b）（b）= 0#

#：。 （a-3b）^ 2 - 4b ^ 2 = 0#

#：。 a ^ 2-6ab + 9b ^ 2 - 4b ^ 2 = 0#

#：。 a ^ 2-6ab + 5b ^ 2 = 0#

#：。 （a-5b）（a-b）= 0#

#：。 a = b#または #a = 5b#

私達は等式を示すように努める：

#x ^ 2 +（a-b）x +（ab-b ^ 2 + 1）= 0#

本当のルーツはありません。これには否定的な判別式が必要です。この方程式の判別式は次のとおりです。

#Delta =（a-b）^ 2 - 4（1）（ab-b ^ 2 + 1）#

# = a ^ 2-2ab + b ^ 2 -4ab + 4b ^ 2-4#

# = a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4#

それでは、最初の式を満たす2つの可能なケースについて考えてみましょう。

ケース1： #a = b#

#Delta = a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4#

# =（b）^ 2-6（b）b + 5b ^ 2-4#

# = b ^ 2-6b ^ 2 + 5b ^ 2-4#

# = -4 #

# lt 0#

ケース2： #a = 5b#

#Delta = a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4#

# =（5b）^ 2-6（5b）b + 5b ^ 2-4#

# = 25b ^ 2-30b ^ 2 + 5b ^ 2-4#

# = -4 #

# lt 0#

それ故、第１の式の条件は、第２の式が常に負の判別式を持ち、したがって複素数の根を持つ（すなわち実数の根を持たない）ようなものである。